格林公式及其推論的推導與應用

格林某式： 設閉區域 \(D\) 由分段光滑的曲線 \(L\) 所圍成，函數 \(P(x,y)\)及\(Q(x,y)\)在 \(D\) 上具有一階連續 偏導數，則有\(\iint \limits_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_L Pdx+Qdy\)其中 \(L\) 是 \(D\) 的取正向的邊界曲線.

證明

有人講推沒推導一下格林公式反映學習態度，樂樂表示實名害怕。為了證明我是真的有認真在學習，就勉為其難簡單推一下算了。

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二重積分和曲線積分的相似之處就是最終總會轉化為定積分求解，不如把式子里四個積分都拿出來轉化成定積分。
\(\iint \limits_D \frac{\partial Q}{\partial x}dxdy\)      \(\iint \limits_D \frac{\partial P}{\partial y}dxdy\)

\(\oint_L P(x,y)dx\)    \(\oint_L Q(x,y)dy\)

就這四個

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假設區域 \(D\) 是X&Y型，可轉定積分如下：

1. 當Y型：
   
2. 當X型：
   

於是發現\(\iint \limits_D \frac{\partial Q}{\partial x}dxdy=\oint_L Q(x,y)dy\)

\[-\iint \limits_D \frac{\partial P}{\partial y}dxdy=\oint_L P(x,y)dx \]

一經疊加就有：

\[\iint \limits_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_L Pdx+Qdy \]

故在X&Y型區域上格林公式得證。

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對於任意非X&Y型區域或者多連通區域，總能划分成若干X&Y型單連通區域。

故只要閉區域由任意分段光滑的曲線圍成，且函數 \(P(x,y)\)及\(Q(x,y)\)在 該區域上 上有一階連續偏導數，\(\iint \limits_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=\oint_L Pdx+Qdy\)就成立，格林公式就得證了。

推論

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面積公式曲線積分形式

\(A=\iint\limits_D dxdy=\frac{1}{2}\iint\limits_D \frac{\partial (x)}{\partial x}-\frac{\partial (-y)}{\partial y}dxdy=\oint_L xdy-ydx\)
（為直角坐標形式，參數形式也直接往里代，積分上下界就是 \(t\) 的范圍）

曲線積分與路徑無關的條件

當區域內\(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0\) 或者說 \(\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}\)時，

\[\oint_L Pdx+Qdy=\iint \limits_D (\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})dxdy=0 \]

任意兩個起點終點分別相同而路徑不同的曲線\(L_1\),\(L_2\)，\(L_1\)與\(L_{2^-}\)總能構成閉合曲線 \(L\)

\[0=\oint_L Pdx+Qdy=\oint_{L_1} Pdx+Qdy+\oint_{L_2^-} Pdx+Qdy \]

\[=\oint_{L_1} Pdx+Qdy-\oint_{L_2} Pdx+Qdy \]

則

\[\oint_{L_1} Pdx+Qdy=\oint_{L_2} Pdx+Qdy \]

即與路徑無關.

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待續