錯排問題是組合數學中的問題之一。考慮一個有\(n\)個元素的排列，若一個排列中所有的元素都不在自己原來的位置上，那么這樣的排列就稱為原排列的一個錯排。\(n\)個元素的錯排數記為\(D_n\)。 研究一個排列錯排個數的問題，叫做錯排問題或稱為更列問題。
最早研究錯排問題的是尼古拉·伯努利和歐拉，因此歷史上也稱為伯努利-歐拉的裝錯信封的問題。這個問題有許多具體的版本，如在寫信時將\(n\)封信裝到\(n\)個不同的信封里，有多少種全部裝錯信封的情況？又比如四人各寫一張賀年卡互相贈送，有多少種贈送方法？自己寫的賀年卡不能送給自己，所以也是典型的錯排問題。
對於\(D_n\)，第一個元素不能在第一個位置上故有\(n-1\)種類情況。假設第一個元素在\(k\)的位置上，有兩種情況
- 第\(k\)個元素在第一個上面，則此時的情況為\(n-2\)個元素的錯排
- 第\(k\)個元素不在第一個上面，則此時的情況為剩下的\(n-1\)個元素的錯排
所以我們得到了一個遞推公式，\(D_n=(n-1)\times (D_{n-1}+D_{n-2}),(n > 2)\)
常見的幾個值
| \(D_{0}=0\) | \(D_{6}=265\) |
|---|---|
| \(D_{1}=0\) | \(D_{7}=1854\) |
| \(D_{2}=1\) | \(D_{8}=14833\) |
| \(D_{3}=2\) | \(D_{9}=133496\) |
| \(D_{4}=9\) | \(D_{10}=1334961\) |
| \(D_{5}=44\) | \(D_{11}=14684570\) |