核心遞推公式：
D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]
特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.
問題: 十本不同的書放在書架上。現重新擺放，使每本書都不在原來放的位置。有幾種擺法?
這個問題推廣一下，就是錯排問題，是組合數學中的問題之一。考慮一個有n個元素的排列，若一個排列中所有的元素都不在自己原來的位置上，那么這樣的排列就稱為原排列的一個錯排。 n個元素的錯排數記為D(n)。 研究一個排列錯排個數的問題，叫做錯排問題或稱為更列問題。
錯排問題最早被尼古拉·伯努利和歐拉研究，因此歷史上也稱為伯努利-歐拉的裝錯信封的問題。這個問題有許多具體的版本，如在寫信時將n封信裝到n個不同的信封里，有多少種全部裝錯信封的情況?又比如四人各寫一張賀年卡互相贈送，有多少種贈送方法?自己寫的賀年卡不能送給自己，所以也是典型的錯排問題。
問題: 十本不同的書放在書架上。現重新擺放，使每本書都不在原來放的位置。有幾種擺法?
這個問題推廣一下，就是錯排問題，是組合數學中的問題之一。考慮一個有n個元素的排列，若一個排列中所有的元素都不在自己原來的位置上，那么這樣的排列就稱為原排列的一個錯排。 n個元素的錯排數記為D(n)。 研究一個排列錯排個數的問題，叫做錯排問題或稱為更列問題。
錯排問題最早被尼古拉·伯努利和歐拉研究，因此歷史上也稱為伯努利-歐拉的裝錯信封的問題。這個問題有許多具體的版本，如在寫信時將n封信裝到n個不同的信封里，有多少種全部裝錯信封的情況?又比如四人各寫一張賀年卡互相贈送，有多少種贈送方法?自己寫的賀年卡不能送給自己，所以也是典型的錯排問題。
遞推的推導錯排公式
當n個編號元素放在n個編號位置，元素編號與位置編號各不對應的方法數用D(n)表示，那么D(n-1)就表示n-1個編號元素放在n-1個編號位置，各不對應的方法數，其它類推.
第一步，把第n個元素放在一個位置，比如位置k，一共有n-1種方法;
第二步，放編號為k的元素，這時有兩種情況:⑴把它放到位置n，那么，對於剩下的n-1個元素，由於第k個元素放到了位置n，剩下n-2個元素就有D(n-2)種方法;⑵第k個元素不把它放到位置n，這時，對於這n-1個元素，有D(n-1)種方法;
綜上得到
D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]
特殊地，D(1) = 0, D(2) = 1.
下面通過這個遞推關系推導:
為方便起見，設D(k) = k! N(k), k = 1, 2, …, n,
則N(1) = 0, N(2) = 1/2.
n ≥ 3時，n! N(n) = (n-1) (n-1)! N(n-1) + (n-1)! N(n-2)
即 nN(n) = (n-1) N(n-1) + N(n-2)
於是有N(n) - N(n-1) = - [N(n-1) - N(n-2)] / n = (-1/n) [-1/(n-1)] [-1/(n-2)]…(-1/3) [N(2) - N(1)] = (-1)^n / n!.
因此
N(n-1) - N(n-2) = (-1)^(n-1) / (n-1)!,
N(2) - N(1) = (-1)^2 / 2!.
相加，可得
N(n) = (-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1) / (n-1)! + (-1)^n/n!
因此
D(n) = n! [(-1)^2/2! + … + (-1)^(n-1)/(n-1)! + (-1)^n/n!].
此即錯排公式。
容斥原理
用容斥原理也可以推出錯排公式:
正整數1, 2, 3, ……, n的全排列有 n! 種，其中第k位是k的排列有 (n-1)! 種;當k分別取1, 2, 3, ……, n時，共有n*(n-1)!種排列是至少放對了一個的，由於所求的是錯排的種數，所以應當減去這些排列;但是此時把同時有兩個數不錯排的排列多排除了一次，應補上;在補上時，把同時有三個數不錯排的排列多補上了一次，應排除;……;繼續這一過程，得到錯排的排列種數為
D(n) = n! - n!/1! + n!/2! - n!/3! + … + (-1)^n*n!/n! = ∑(k=2~n) (-1)^k * n! / k!,
即D(n) = n! [1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! + 1/4! + ... + (-1)^n/n!].
其中，∑表示連加符號，k=2~n是連加的范圍;0! = 1，可以和1!相消。
簡化公式
錯排公式的原形為D(n) = n! (1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! - ..... + (-1)^n/n!)，當n很大時計算就很不方便。一個供參考的簡化后的公式是D(n) = [n!/e+0.5] ，其中e是自然對數的底，[x]為x的整數部分。
證明:
由於1/e = e^(-1) = 1/0! - 1/1! + 1/2! - 1/3! - ..... + (-1)^n/n! + Rn(-1),
其中Rn(-1)是余項，等於(-1)^(n+1) * e^u / (n+1)!，且u∈(-1, 0).
所以，D(n) = n! * e^(-1) - (-1)^(n+1) * e^u / (n+1), u∈(-1, 0).
而|n! Rn| = |(-1)^(n+1) * e^u / (n+1)| = e^u / (n+1) ∈ (1/[e(n+1)], 1/(n+1))，可知即使在n=1時，該余項(的絕對值)也小於1/2。
因此，無論n! Rn是正是負，n! / e + 1/2的整數部分都一定與M(n)相同。
對於比較小的n，結果及簡單解釋是:
D(0) = 1(所有的元素都放回原位、沒有擺錯的情況)
D(1) = 0(只剩下一個元素，無論如何也不可能擺錯)
D(2) = 1(兩者互換位置)
D(3) = 2(ABC變成BCA或CAB)
D(4) = 9
D(5) = 44
D(6) = 265
D(7) = 1854
D(8) = 14833
D(9) = 133496
D(10) = 1334961