動態規划 剪繩子

題目：給你一根長度為n的繩子，請把繩子剪成m段（m、n都是整數，n>1並且m>1），每一段的長度記為k[0],k[1],...k[m].請問k[0]xk[1]x...xk[m]可能 的最大乘積是多少?例如，當繩子的長度是8時，我們把它剪成長度分別為2、3、3的三段，此時得到的最大乘積是18.

　　我們有兩種不同的方法解決這個問題。先用常規的需要O(n^2)時間和O(n)空間的動態規划的思路，接着用只需要O(1)時間和空間的貪婪算法來分析解決這個問題。

動態規划

　　首先定義函數f(n)為把長度為n的繩子剪成若干段后各段長度乘積的最大值。在剪第一刀的時候，我們有n-1種可能的選擇，也就是剪出來的第一段繩子的可能長度為1，2，...n-1。因此f(n)=max(f(i)xf(n-i))，其中0<i<n.

　　這是一個從上至下的遞歸公式。由於遞歸會有很多重復的子問題，從而有大量不必要的重復計算。一個更好的辦法是按照從下而上的順序計算，也就是說我們先得到f(2)、f(3)，再得到f(4)、f(5)，直到得到f(n)。

　　當繩子的長度為2時，只可能剪成長度為1的兩段，因此f(2)等於1.當繩子的長度為3時，可能把繩子剪成長度為1和2的兩段或者長度都為1的三段，由於1x2>1x1x1，因此f(3)=2

int max(int length)
{
    if (length < 2)
    {
        return 0;
    }
    if (length == 2)
    {
        return 1;
    }
    if (length == 3)
    {
        return 2;
    }
    int* array = new int[length + 1];
    //如果length超過3，則2和3都可以直接作為一個段進行成績（不切割）
    array[0] = 0;
    array[1] = 1;
    array[2] = 2;
    array[3] = 3;
    int max = 0;
    for (int i = 4; i < length; i++)
    {
        max = 0;
        for (int j = 1; j < i / 2; j++)//因為對稱所以只需要計算一半就好
        {
            int temp = array[j] * array[i - j];
            if (max < temp)
            {
                max = temp;
            }
            array[i] = max;
        }
    }
    max = array[length];
    delete[]array;
    return max;
}

　　在上述代碼中，子問題的最優解存儲在數組array里。數組中第i個元素表示把長度為i的繩子剪成若干段之后各段長度乘積的最大值，即f(i)。我們注意到代碼中的第一個for循環變量i是順序遞增的，這意味着計算順序是自下而上的。因此，在求f(i)之前，對於每一個j(0<i<j)而言，f(j)都已經求解出來了，並且結果保存在array[j]里，為了求解f(i)，我們需要求出所有可能的f(j)xf(i-j)並比較得出它們的最大值。這就是代碼中第二個for循環的功能。

int max(int length)
{
    if (length < 2)
    {
        return 0;
    }
    if (length == 2)
    {
        return 1;
    }
    if (length == 3)
    {
        return 2;
    }
    //盡可能多地剪去長度為3的繩子
    int temp = length / 3;
    //當繩子最后剩下長度為4的時候，不能再剪去長度為3的繩子段
    //此時更好的方法是把繩子剪成長度為2的兩段，因此2x2>3x1
    if (length - temp * 3 == 1)
    {
        temp -= 1;
    }
    //有三種情況，最后是0，1，2，3，4（0，1，3時temp=0，pow(2,0)=1）(2，4時pow分別為2和4)
    int temp2 = (length - temp * 3) / 2;
    return (int)(pow(3, temp))*(int)(pow(2, temp2));
}

　　接下來我們證明這種思路的正確性。首先，當n>=5的時候，我們可以證明2(n-2)>n並且3(n-3)>n。也就是說，當繩子剩下的長度大於或者等於5的時候，我們就把它剪成長度為3或者2的繩子段。另外，當n>=5時，3(n-3)>=2(n-2)，因此我們應該盡可能地多剪長度為3的繩子段。

　　前面證明的前提是n>=5。那么當繩子的長度為4呢？在長度為4的繩子上剪一刀，有兩種可能的結果：剪成長度為1和3的兩根繩子，或者兩根長度都為2的繩子。注意到2x2>1x3，同時2x2=4也就是說，當繩子長度為4時其實沒有必要剪，只是題目的要求是至少要剪一刀。