剪繩子問題(動態規划,貪婪,遞歸)

給你一根長度為n的繩子，請把繩子剪成m段（m、n都是整數，n>1並且m>1），
每段繩子的長度記為k[0],k[1],...,k[m]。請問k[0]xk[1]x...xk[m]可能的最大乘積是多少？
例如，當繩子的長度是8時，我們把它剪成長度分別為2、3、3的三段，此時得到的最大乘積是18。

思路

注意
當長度大於3 f[n]才能得到繩子的最大乘積

動態規划

特征
從上往下分析問題，從下往上求解問題;

• 求一個問題的最優解;(最大值或者最小值)
• 問題能夠分解成若干個子問題,並且子問題之間還有重疊的更小的子問題
• 分解后的小問題也存在最優解,如果把小問題的最優解組合起來能夠得到整個問題的最優解,就可以使用動態規划

實現

public int cutRope(int target) {
	//排除特殊情況
	if (target < 2) {
		return 0;
	}
	if (target == 2) {
		return 1;
	}
	if (target == 3) {
		return 2;
	}
	int[] products = new int[target + 1];
	products[0] = 0;
	products[1] = 1;
	products[2] = 2;
	products[3] = 3;
	for (int i = 4; i <= target; i++) {
		int max = 0;
		for (int j = 1; j <= i / 2; j++) {
			int product = products[j] * products[i - j];
			max = Math.max(max, product);
		}
		products[i] = max;
	}
	return products[target];
}

貪婪

• 由於是乘法，那么除了1以外越多數相乘，得到的結果就越大。
• 因此從2開始考慮。但是都分成2的話必然會有奇數分成包含1的段數，因為1相當於浪費了一個乘數，所以如果最后剩1的時候我們應該將他變為3. 因此得到分成的段數長度為2，3是最好的。
• 又因為 2 * 2 * 2 < 3 * 3 說明3個2都不如2個3 ，因此應該讓3 相對來說比2 多。
• 於是讓該數對3相除，余數如果為2，則分為 1個2 ，N個3 為最優解，如果余數為1，則應分為2個2 ，N-1 個3 為最優解

實現

public int cutRope(int target) {
	//排除特殊情況
	if (target < 2) {
		return 0;
	}
	if (target == 2) {
		return 1;
	}
	if (target == 3) {
		return 2;
	}
	int timesOf3 = target / 3;
	if (target - timesOf3 * 3 == 1) {
		timesOf3--;
	}
	int timesOf2 = (target - timesOf3 * 3) / 2;
	int result = (int) (Math.pow(3, timesOf3) * Math.pow(2, timesOf2));
	return result;
}

遞歸

雖然動態規划比遞歸不知高到那里去,因為遞歸有很多的重復求解情況
但是,我看互聯網上,剪繩子好像沒有人寫遞歸的解法,於是...就當看個玩

思路

f(n)=max(f(i)*f(n-i)) 0<i<n

實現

public int cutRope03(int target) {
	if (target < 2) {
		return 0;
	}
	if (target == 2) {
		return 1;
	}
	if (target == 3) {
		return 2;
	}
	int max = cutRope03Core(target);
	return max;
}

private int cutRope03Core(int target) {
	if (target < 4) {
		return target;
	}
	int max = 0;
	for (int i = 1; i <= target/2; i++) {
		max = Math.max(cutRope03Core(i) * cutRope03Core(target - i), max);
	}
	return max;
}