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14 剪繩子
題目：給你一根長度為n的繩子，請把繩子剪成m段
(m和n都是整數，n>1並且m>1)
每段繩子的長度記為k[0],k[1],...,k[m].請問k[0]*k[1]*...*k[m-1]可能的最大乘積是多少？
例如，當繩子的長度為8時，我們把它剪成長度分別為2,3,3的三段，此時得到的最大乘積是18.
思路：首先定義函數f(n)為把長度為n的繩子剪成若干段后各段長度乘積的最大值。在剪第一刀時，我們有n-1種選擇，也就是說第一段繩子的可能長度分別為1,2,3.....，n-1。因此f(n)=max(f(i)*f(n-i))，其中i = 1,2,3...n/2。
這是一個自上而下的遞歸公式。由於遞歸會有大量的不必要的重復計算。一個更好的辦法是按照從下而上的順序計算，也就是說我們先得到f(2),f(3)，再得到f(4),f(5)，直到得到f(n)。
當繩子的長度為2的時候，只能剪成長度為1的兩段，所以f(2) = 1，當n = 3時，容易得出f(3) = 2;
//動態規划：從上往下分析問題，從下往上解決問題
#include <stdio.h>
#include<math.h>
// ====================動態規划====================
int
maxProductAfterCutting_solution1
(
int
len
)
{
if
(
len
<
2
)
//長度為1時直接返回0
return
0
;
if
(
len
==
2
)
//題目已經要求必須剪斷，m>1，故長度為2時，最大乘積為1，長度為3時，最大乘積為2
return
1
;
if
(
len
==
3
)
return
2
;
vector<int> A(len+1); //多開辟一個空間，最后一個用來存儲最大值
A
[
0
]
=
0
;
/
/當n<=3時，A[n]存儲的是繩子的長度，方便之后式子迭代
A
[
1
]
=
1
;
A
[
2
]
=
2
;
A
[
3
]
=
3
;
for
(
int
i
=
4
;
i
<=
len
;
i++
)
for
(
int
j
=
1
;
j
<=
i
/
2
;
j++
)
//i=4~len, j= 1~i/2
{
A[i] = max(A[i], A[j]*A[i-j]);
//前一項用來不斷更新A[i],並不是代表不剪（如果想加入不剪斷的情況，可以與i比較）
}
return A[len]
;
}
//需要證明局部最優可以得到全局最優，如果不能確切的證明就不要用貪婪法
// ====================貪婪算法====================
int
maxProductAfterCutting_solution2
(
long
int
length
)
{
if
(
length
<
2
)
return
0
;
if
(
length
==
2
)
return
1
;
if
(
length
==
3
)
return
2
;
// 盡可能多地減去長度為3的繩子段
int
timesOf3
=
length
/
3
;
// 當繩子最后剩下的長度為4的時候，不能再剪去長度為3的繩子段。
// 此時更好的方法是把繩子剪成長度為2的兩段，因為2*2 > 3*1。
if
(
length
-
timesOf3
*
3
==
1
)
timesOf3
-=
1
;
int
timesOf2
=
(
length
-
timesOf3
*
3
)
/
2
;
return
(
long
int
)
(
pow
(
3
,
timesOf3
))
*
(
long
int
)
(
pow
(
2
,
timesOf2
));
}