全體自然數的和是負十二分之一？

本文轉載自查看原文 2018-09-11 22:00 19061

“全體自然數的和是-1/12”這個驚人的結論已經在互聯網上傳播了許多年，那么，全體自然數的和是-1/12，這是怎么來的？

一個最通俗，所以也最引人爭議的做法，是一種看上去很簡單的算術算法：

首先令S0=1-2+3-4+5-6……

我們在大學里的學過令它收斂到1/4的方法。

再令全體自然數的和為S，減去這個S0，則有：

S-S0=0+4+0+8+0+12+0+16+……

　　=4*(1+2+3+4+....)=4S

也就是說-S0等於3個S，所以S等於負十二分之一。

還有個誤解在黎曼ζ（zeta）函數的解析延拓有

得到了印證，讓很多人深信不疑。

下面我們探討一下S0和 S到底存不存在：

柯西和（就是高數書上的定義）

級數收斂的必要條件是一般項的極限是0

的一般項是

其極限不是0，所以 S0 不收斂.

的一般項是n ，其極限不是0，所以 S不收斂

Cesaro和

在此之前有必要了解一下Cesaro和的定義，它是部分和的平均，也就是

在Cesaro和的意義下， S0還是不收斂的。

這是因為 $\sum_{i=1}^{n}s_i$ 奇數項是 $\frac{n+1}{2}$ ，偶數項是0 ，故 $S_0=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}s_i}$ 這個極限根本不存在，也即S0 沒有Cesaro和。

廣義Cesaro和

那么，我們再拓展一下，既然一次平均不行，我們取部分和平均的平均，如何？

$\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}s_i)}$ 這就是廣義Cesaro和。

很幸運的是，這時候S0 終於可以求和了，它在廣義Cesaro和的意義下是 1/4

Ramanujan和（拉馬努金和）

Ramanujan斷言，對於函數 f(x) ，定義新的和作為Ramanujan和：

$\sum_{k=1}^{\infty}f(k)=-\frac{f(0)}{2}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(0)$

小結

S0沒有柯西和，沒有Cesaro和，有廣義Cesaro和，有Ramanujan和

S沒有柯西和，沒有Cesaro和，沒有廣義Cesaro和，有Ramanujan和

嚴格來說，Rmanujan和，已經改變了原來“和”的定義。簡單來說，不滿足結合律

舉個例子：

假設

$1+2+...=-\frac1{12}$

那么

$0+1+2+...=-\frac1{12}$

$0=-\frac1{12}+\frac1{12}=(1-0)+(2-1)+...=1+1+...$

=1+(1+1+...)=1+0=1

因此，

0=1

顯然，不成立

再看下再黎曼ζ函數下的誤解：

由於黎曼ζ函數原本的定義是

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{s}}}$

（其中s為復數），

如果把s取為-1的話，等號右邊就變成了1+2+3+...這樣的“全體自然數之和”，似乎

$\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$

就自然推出了“全體自然數之和等於負十二分之一”。但是要注意，原始的黎曼ζ函數是定義在s的實部大於1的區間中的，也就是說原始的ζ(s)在s=-1時根本沒有意義。

那么這個

$\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$

是怎么回事呢？這里就需要介紹“解析延拓”這個概念。

假設兩個函數分別在兩個區域中解析，而這兩個區域有公共部分，在公共部分上兩個函數相等，那么就可以把這兩個函數在兩個區域的並集上的全體點的數值集，看成一個在兩區域的並集上解析的新函數，此時這兩個函數就是彼此的解析延拓。具體的例子可以去百度。重點就是， $\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$ 是在黎曼ζ函數解析延拓后得到的結果，可以認為此時的ζ(s)含義已經與之前不同，也自然不能將負十二分之一看成“全體自然數之和”

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