全体自然数的和是负十二分之一？

本文转载自查看原文 2018-09-11 22:00 19061

“全体自然数的和是-1/12”这个惊人的结论已经在互联网上传播了许多年，那么，全体自然数的和是-1/12，这是怎么来的？

一个最通俗，所以也最引人争议的做法，是一种看上去很简单的算术算法：

首先令S0=1-2+3-4+5-6……

我们在大学里的学过令它收敛到1/4的方法。

再令全体自然数的和为S，减去这个S0，则有：

S-S0=0+4+0+8+0+12+0+16+……

　　=4*(1+2+3+4+....)=4S

也就是说-S0等于3个S，所以S等于负十二分之一。

还有个误解在黎曼ζ（zeta）函数的解析延拓有

得到了印证，让很多人深信不疑。

下面我们探讨一下S0和 S到底存不存在：

柯西和（就是高数书上的定义）

级数收敛的必要条件是一般项的极限是0

的一般项是

其极限不是0，所以 S0 不收敛.

的一般项是n ，其极限不是0，所以 S不收敛

Cesaro和

在此之前有必要了解一下Cesaro和的定义，它是部分和的平均，也就是

在Cesaro和的意义下， S0还是不收敛的。

这是因为 $\sum_{i=1}^{n}s_i$ 奇数项是 $\frac{n+1}{2}$ ，偶数项是0 ，故 $S_0=\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}s_i}$ 这个极限根本不存在，也即S0 没有Cesaro和。

广义Cesaro和

那么，我们再拓展一下，既然一次平均不行，我们取部分和平均的平均，如何？

$\lim_{n \rightarrow \infty}{\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n}(\frac{1}{k}\sum_{i=1}^{k}s_i)}$ 这就是广义Cesaro和。

很幸运的是，这时候S0 终于可以求和了，它在广义Cesaro和的意义下是 1/4

Ramanujan和（拉马努金和）

Ramanujan断言，对于函数 f(x) ，定义新的和作为Ramanujan和：

$\sum_{k=1}^{\infty}f(k)=-\frac{f(0)}{2}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{B_{2k}}{(2k)!}f^{(2k-1)}(0)$

小结

S0没有柯西和，没有Cesaro和，有广义Cesaro和，有Ramanujan和

S没有柯西和，没有Cesaro和，没有广义Cesaro和，有Ramanujan和

严格来说，Rmanujan和，已经改变了原来“和”的定义。简单来说，不满足结合律

举个例子：

假设

$1+2+...=-\frac1{12}$

那么

$0+1+2+...=-\frac1{12}$

$0=-\frac1{12}+\frac1{12}=(1-0)+(2-1)+...=1+1+...$

=1+(1+1+...)=1+0=1

因此，

0=1

显然，不成立

再看下再黎曼ζ函数下的误解：

由于黎曼ζ函数原本的定义是

$\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{n^{s}}}$

（其中s为复数），

如果把s取为-1的话，等号右边就变成了1+2+3+...这样的“全体自然数之和”，似乎

$\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$

就自然推出了“全体自然数之和等于负十二分之一”。但是要注意，原始的黎曼ζ函数是定义在s的实部大于1的区间中的，也就是说原始的ζ(s)在s=-1时根本没有意义。

那么这个

$\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$

是怎么回事呢？这里就需要介绍“解析延拓”这个概念。

假设两个函数分别在两个区域中解析，而这两个区域有公共部分，在公共部分上两个函数相等，那么就可以把这两个函数在两个区域的并集上的全体点的数值集，看成一个在两区域的并集上解析的新函数，此时这两个函数就是彼此的解析延拓。具体的例子可以去百度。重点就是， $\zeta(-1)=-\frac{1}{12}$ 是在黎曼ζ函数解析延拓后得到的结果，可以认为此时的ζ(s)含义已经与之前不同，也自然不能将负十二分之一看成“全体自然数之和”

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