\(X\) 分布與 \(Y(X)\) 分布的關系
很多時候我們已知隨機變量 \(X\) 的分布，而相應的如果 \(X\) 經過某函數關系 \(g(X)\) 后得到的 \(Y\) ，其實它的分布我們也可求出來，而且這個分布肯定是和 \(X\) 的分布與函數關系 \(g\) 共同決定的
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那如何根據 \(X\) 的分布與 \(Y=g(x)\) 的函數關系 \(g\) 去求 \(Y\) 的分布呢？
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對於離散型隨機變量 \(X\) ，將相應 \(X\) 取值經過 \(g\) 變換后得到 \(Y\) ，\(Y\) 相同的，概率累加即可。
舉個栗子🌰
設隨機變量 \(X\) 的概率分布律為如圖，\(Y=X^2\)，求 \(Y\) 的概率分布律.
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對於連續型隨機變量
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\(X-CDF\) 算 \(Y - CDF\)
函數代入法：設隨機變量 \(X\) ，\(Y = g(X)\)，在 \(X\) 非常數的區間內，將 \(g(X)\leq y\) 化簡為 \(X\) 的一個取值范圍 \(D\)，然后將 \(P(D)\) 的計算轉化為 \(F_X(x)\) 的純含 \(y\) 代入式計算， 算出來的式子即為 \(F_Y(y)\)
舉個栗子🌰
設隨機變量 \(X\) 的累積分布函數為 \(F(x) = \begin{cases}1，4<x;\\\frac{x^2}{16}，0<x\leq4;\\0，x\leq 0\end{cases}\)
求 \(Y = X^2\) 的CDF
在 \(0 < x \leq 4\) 時
\(F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(\sqrt{-y} \leq X \leq \sqrt{y}) = P(X \leq \sqrt{y}) = F_X(\sqrt{y}) = \frac{(\sqrt{y})^2}{16} = \frac{y}{16}\)
其余區間對應相同，因此求得：
\(F(y) = \begin{cases}1，16<y;\\\frac{y}{16}，0<y\leq4;\\0，y\leq 0\end{cases}\)
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\(X-PDF\) 算 \(Y-PDF\)
公式法：設隨機變量 \(X\)~\(f_X(x)\)，\(-\infty<x<+\infty\)， \(Y=g(X)\) , 若 \(g(X)\) 單調，設其反函數為 \(h(y)\) ,則 \(Y\) 的 PDF 為：
\(f_Y(y) = \begin{cases}f_x(h(y))·|h'(y)|, \alpha<y<\beta\\ 0 ,otherwise\end{cases}\)
- \(\alpha，\beta\) 分別取 \(g(-\infty)，g(+\infty)\) 中的最小值和最大值
舉個栗子🌰
設隨機變量 \(X\) 的累積分布函數為 \(f(x) = \frac{e^{-|x|}}{2}\)
求 \(Y = e^X\) 的PDF
套公式即可得
\(f(y) = \begin{cases}\frac{e^{-|lny|}}{2}·|lny|，y>0\\0，otherwise \end{cases}\)
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特殊：當\(X\)~\(B(\mu, \sigma^2)\)時，若\(Y(X) = aX + b\) ，則
\(Y\)~\(N(\alpha\mu+b, a^2\sigma^2)\)
舉個栗子🌰
\(X\)~\(N(1, 3)\)
\(Y(x) = 3-2X\)，求 \(Y\) 的分布
\(\because a\mu + b = -2*1+3 = 1\)
\(\alpha^2\sigma^2 = 4*3 = 12\)
\(\therefore Y\)~\(N(1, 12)\)
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要求 \(Y-PDF\)，也可以先根據 \(X - CDF\) 算出 \(Y - CDF\) 之后在微分。
要求 \(Y - CDF\)，也可以先根據 $X - PDF $ 算出 \(Y-PDF\) 之后再積分。
總之要靈活應用~~
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