\(X\) 分布与 \(Y(X)\) 分布的关系
很多时候我们已知随机变量 \(X\) 的分布，而相应的如果 \(X\) 经过某函数关系 \(g(X)\) 后得到的 \(Y\) ，其实它的分布我们也可求出来，而且这个分布肯定是和 \(X\) 的分布与函数关系 \(g\) 共同决定的
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那如何根据 \(X\) 的分布与 \(Y=g(x)\) 的函数关系 \(g\) 去求 \(Y\) 的分布呢？
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对于离散型随机变量 \(X\) ，将相应 \(X\) 取值经过 \(g\) 变换后得到 \(Y\) ，\(Y\) 相同的，概率累加即可。
举个栗子🌰
设随机变量 \(X\) 的概率分布律为如图，\(Y=X^2\)，求 \(Y\) 的概率分布律.
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对于连续型随机变量
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\(X-CDF\) 算 \(Y - CDF\)
函数代入法：设随机变量 \(X\) ，\(Y = g(X)\)，在 \(X\) 非常数的区间内，将 \(g(X)\leq y\) 化简为 \(X\) 的一个取值范围 \(D\)，然后将 \(P(D)\) 的计算转化为 \(F_X(x)\) 的纯含 \(y\) 代入式计算， 算出来的式子即为 \(F_Y(y)\)
举个栗子🌰
设随机变量 \(X\) 的累积分布函数为 \(F(x) = \begin{cases}1，4<x;\\\frac{x^2}{16}，0<x\leq4;\\0，x\leq 0\end{cases}\)
求 \(Y = X^2\) 的CDF
在 \(0 < x \leq 4\) 时
\(F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X^2 \leq y) = P(\sqrt{-y} \leq X \leq \sqrt{y}) = P(X \leq \sqrt{y}) = F_X(\sqrt{y}) = \frac{(\sqrt{y})^2}{16} = \frac{y}{16}\)
其余区间对应相同，因此求得：
\(F(y) = \begin{cases}1，16<y;\\\frac{y}{16}，0<y\leq4;\\0，y\leq 0\end{cases}\)
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\(X-PDF\) 算 \(Y-PDF\)
公式法：设随机变量 \(X\)~\(f_X(x)\)，\(-\infty<x<+\infty\)， \(Y=g(X)\) , 若 \(g(X)\) 单调，设其反函数为 \(h(y)\) ,则 \(Y\) 的 PDF 为：
\(f_Y(y) = \begin{cases}f_x(h(y))·|h'(y)|, \alpha<y<\beta\\ 0 ,otherwise\end{cases}\)
- \(\alpha，\beta\) 分别取 \(g(-\infty)，g(+\infty)\) 中的最小值和最大值
举个栗子🌰
设随机变量 \(X\) 的累积分布函数为 \(f(x) = \frac{e^{-|x|}}{2}\)
求 \(Y = e^X\) 的PDF
套公式即可得
\(f(y) = \begin{cases}\frac{e^{-|lny|}}{2}·|lny|，y>0\\0，otherwise \end{cases}\)
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特殊：当\(X\)~\(B(\mu, \sigma^2)\)时，若\(Y(X) = aX + b\) ，则
\(Y\)~\(N(\alpha\mu+b, a^2\sigma^2)\)
举个栗子🌰
\(X\)~\(N(1, 3)\)
\(Y(x) = 3-2X\)，求 \(Y\) 的分布
\(\because a\mu + b = -2*1+3 = 1\)
\(\alpha^2\sigma^2 = 4*3 = 12\)
\(\therefore Y\)~\(N(1, 12)\)
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要求 \(Y-PDF\)，也可以先根据 \(X - CDF\) 算出 \(Y - CDF\) 之后在微分。
要求 \(Y - CDF\)，也可以先根据 $X - PDF $ 算出 \(Y-PDF\) 之后再积分。
总之要灵活应用~~
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