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函數\(f(x)=\cfrac{4^x+1}{2^x}\)的圖像【】
A、關於原點對稱\(\;\;\;\;\;\) B、關於\(x\)軸對稱\(\;\;\;\;\;\) C、關於\(y\)軸對稱\(\;\;\;\;\;\) D、關於直線\(y=x\)軸對稱\(\;\;\;\;\;\)
分析：注意到\(f(x)=\cfrac{4^x+1}{2^x}=\cfrac{(2^x)^2+1}{2^x}=2^x+\cfrac{1}{2^x}=2^x+2^{-x}\)，
則\(f(-x)=2^{-x}+2^{-(-x)}=2^x+2^{-x}=f(x)\)，故函數\(f(x)\)為偶函數，故選B。
解后反思：
1、積累常見函數的奇偶性很重要，比如\(f(x)=e^x+e^{-x}\)為偶函數，\(f(x)=e^{|x|}\)為偶函數，\(f(x)=e^x-e^{-x}\)為奇函數，等等。
2、函數的奇偶性
若正數\(x，y\)滿足\(x+3y=5xy\)，則\(3x+4y\)的最小值是【】
A、\(\cfrac{24}{5}\;\;\;\;\;\) B、\(\cfrac{28}{5}\;\;\;\;\;\) C、\(5\;\;\;\;\;\) D、\(6\;\;\;\;\;\)
分析：給已知式子\(x+3y=5xy\)，兩邊同除以 \(xy\)得到，\(\cfrac{3}{x}+\cfrac{1}{y}=5\)，
則問題轉化為已知\(\cfrac{3}{x}+\cfrac{1}{y}=5\)，求\(3x+4y\)的最小值
則\(3x+4y=\cfrac{1}{5}(3x+4y)(\cfrac{3}{x}+\cfrac{1}{y})\)，
\(=\cfrac{1}{5}(9+4+\cfrac{12y}{x}+\cfrac{3x}{y})\ge \cfrac{1}{5}(13+2\sqrt{36})=5\)，
當且僅當\(\cfrac{12y}{x}=\cfrac{3x}{y}\)且\(x+3y=5xy\)時，即\(x=1， y=\cfrac{1}{2}\)時取得等號。
故選C。
1、務必注意限定條件的給出方式，比如題目若給定\(\cfrac{3}{x}+\cfrac{1}{y}=5\)就比給定\(\cfrac{x}{y}+3=5x\)要簡單的多。
2、學習方法的改造和提升
第11題 (已知零點的個數，求參數的取值范圍)
若函數\(f(x)=m-x^2+2lnx\)在區間\([\cfrac{1}{e^2}，e]\)上有兩個不同的零點，則實數\(m\)的取值范圍是【】
法1：先數后形，分離參數，得到\(m=x^2-2lnx\)，
令\(h(x)=x^2-2lnx(x\in [\cfrac{1}{e^2}，e])\)，用導數研究函數的單調性，以畫出大致圖像。
\(h'(x)=2x-\cfrac{2}{x}=\cfrac{2x^2-2}{x}=\cfrac{2(x-1)(x+1)}{x}\)，
故在\((\cfrac{1}{e^2}，1)\)上，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)單調遞減，
在\((1，e)\)上，\(h'(x)>0\)，\(h(x)\)單調遞增，
故\(h(x)_{min}=h(1)=1\)，
端點值\(h(\cfrac{1}{e^2})=4+\cfrac{1}{e^4}\)，\(h(e)=e^2-2\)，且\(h(e)>h(\cfrac{1}{e^4})\)，
在同一個坐標系中作出函數\(y=m\)和函數\(y=h(x)\)的圖像，
要使兩個函數的圖像有兩個交點，
由圖像可知，\(1< m \leqslant 4+\cfrac{1}{e^2}\)。故選\(C\).
法2：利用參數的幾何意義，直接從形上考慮？待編輯
參考圖像
(1)已知\(a_2=2\)，且\(a_3\)是\(S_1，S_3\)的等差中項，求數列\(\{a_n\}\)的通項公式；
(2)當\(a_1=1\)，\(q=2\)時，令\(b_n=log_4(S_n+1)\)，求證：數列\(\{b_n\}\)是等差數列。
(1)求顧客抽獎一次能獲獎的概率。
【法1】(相互獨立事件+互斥事件)：記“抽獎一次能獲一等獎”為事件\(A\)，“抽獎一次能獲二等獎”為事件\(B\)，
“顧客抽獎一次能獲獎”為事件\(C\)，則事件\(A、B\)是互斥事件，且\(C=A+B\)，兩次抽獎是相互獨立事件，
則\(P(A)=\cfrac{C_4^1}{C_{10}^1}\cdot \cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=\cfrac{20}{100}\)，
\(P(B)=\cfrac{C_4^1}{C_{10}^1}\cdot \cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}+\cfrac{C_6^1}{C_{10}^1}\cdot \cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=\cfrac{50}{100}\)
故\(P(C)=P(A+B)=\cfrac{70}{100}=\cfrac{7}{10}\)。
【法2】(對立事件+相互獨立事件)：設“沒有獲獎”為事件\(D\)，
則\(P(C)=1-P(D)=1-\cfrac{C_6^1}{C_{10}^1}\cdot \cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=\cfrac{7}{10}\)。
(2)若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲得一等獎的次數為\(X\)，求\(X\)的分布列、數學期望和方差。
由於顧客在每次抽獎過程中，中一等獎的概率都為\(\cfrac{C_4^1}{C_{10}^1}\cdot \cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=\cfrac{1}{5}\)，
那么此人抽獎3次，相當於做了3次獨立重復實驗，故\(X\sim B(3，\cfrac{1}{5})\)，\(X=0，1，2，3\)；
即\(P(X=k)=C_3^k\cdot (\cfrac{1}{5})^k(1-\cfrac{1}{5})^{3-k}\)，\(k=0，1，2，3\)；
則\(P(X=0)=C_3^0\cdot (\cfrac{1}{5})^0(1-\cfrac{1}{5})^{3-0}=\cfrac{64}{125}\)，
\(P(X=1)=C_3^1\cdot (\cfrac{1}{5})^1(1-\cfrac{1}{5})^{3-1}=\cfrac{48}{125}\)，
\(P(X=2)=C_3^2\cdot (\cfrac{1}{5})^2(1-\cfrac{1}{5})^{3-2}=\cfrac{12}{125}\)，
\(P(X=3)=C_3^3\cdot (\cfrac{1}{5})^3(1-\cfrac{1}{5})^{3-3}=\cfrac{1}{125}\)，
分布列略，數學期望為\(EX=3\times \cfrac{1}{5}=\cfrac{3}{5}\)
方差為\(DX=3\times \cfrac{1}{5}\times (1-\cfrac{1}{5})=\cfrac{12}{25}\)
1、求復雜事件的概率，需要將復雜事件分化為幾個簡單的事件，且必須弄清楚個事件之間的關系，這會決定后續的計算是用加法還是乘法。
2、\(n\)次獨立重復實驗中，離散型隨機變量\(X\sim B(n，p)\)，則\(EX=np\)，\(DX=np(1-p)\)。
(1)若函數\(f(x)\)在區間\((0，\cfrac{1}{2})\)上無零點，求實數\(a\)的最小值。
【法1】(分離參數，參數形式簡單，函數復雜)
碰到這類問題，我們的第一反應往往是分離參數，然后數形結合求解，但是這個方法不見得是很恰當和很靈活的。
先變形為\(a(1-x)=2+2lnx-2x\)，再分離參數為\(a=\cfrac{2+2lnx-2x}{1-x}\)，其中\(x\in (0，\cfrac{1}{2})\)，
令函數\(h(x)=\cfrac{2+2lnx-2x}{1-x}\)，接下來用導數研究單調性，准備做函數的大值圖像，
\(h'(x)=\cfrac{(\cfrac{2}{x}-2)(1-x)-(2+2lnx-2x)(-1)}{(1-x)^2}=\cfrac{2lnx+\cfrac{2}{x}-2}{(1-x)^2}\)
暫時沒法看透\(h'(x)\)的正負值，也無法判斷原函數\(h(x)\)的增減性，
故再設\(h'(x)\)的分子函數為\(m(x)=2lnx+\cfrac{2}{x}-2\)，
\(m'(x)=\cfrac{2}{x}-\cfrac{2}{x^2}=\cfrac{2x-2}{x^2}\)，
由於\(0< x <\cfrac{1}{2}\)，故\(m'(x) <0\)，即\(m(x)\)單調遞減，
故函數\(m(x)\)的最小值的極限為\(m(\cfrac{1}{2})=2ln\cfrac{1}{2}+4-2=2(1-ln2)>0\)
編外話：由分子函數\(m(x)\)的最小值的極限為正，說明函數\(h'(x)\)的分子都為正，
故\(h'(x)=\cfrac{m(x)}{(1-x)^2}>0\)，故函數\(h(x)\)在\(x\in (0，\cfrac{1}{2})\)上單調遞增，
故\(h(x)\)的最大值的極限為\(h(\cfrac{1}{2})=\cfrac{2+2ln\cfrac{1}{2}-2\times\cfrac{1}{2}}{1-\cfrac{1}{2}}=2(1-2ln2)\)
要使直線\(y=a\)與函數\(y=h(x)(0< x <\cfrac{1}{2})\)沒有交點，
則\(a\)的取值范圍是\(a\ge 2(1-2ln2)\)，故\(a_{min}=2-4ln2\)。
【法2】(分離參數，參數形式復雜，函數簡單)
將原方程\((2-a)x-2(1+lnx)+a=0\)，變形為\(\cfrac{2-a}{2}=\cfrac{lnx}{x-1}\)，
令\(h(x)=\cfrac{lnx}{x-1}\)，
則\(h'(x)=\cfrac{\cfrac{1}{x}(x-1)-lnx}{(x-1)^2}=\cfrac{1-\cfrac{1}{x}-lnx}{(x-1)^2}\)
令\(m(x)=1-\cfrac{1}{x}-lnx\)，
則\(m'(x)=\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{1}{x}=\cfrac{1-x}{x^2}>0\)在\((0，\cfrac{1}{2})\)上恆成立，
故函數\(m(x)\)在\((0，\cfrac{1}{2})\)單調遞增，
故\(m(x)_{max}\)的極限為\(m(\cfrac{1}{2})=1-2-ln\cfrac{1}{2}=ln2-1<0\)
則函數\(h'(x)=\cfrac{m(x)}{(x-1)^2}<0\)在\((0，\cfrac{1}{2})\)上恆成立，
函數\(h(x)\)在\((0，\cfrac{1}{2})\)上單調遞減，
則\(h(x)_{min}\)的極限為\(h(\cfrac{1}{2})=\cfrac{ln\cfrac{1}{2}}{\cfrac{1}{2}-1}=2ln2\)
要使得原方程無解，必須滿足函數\(y=\cfrac{2-a}{2}\)與函數\(y=h(x)\)沒有交點，
即\(\cfrac{2-a}{2}\leq 2ln2\)，即\(a\ge 2-4ln2\)
故\(a_{min}=2-4ln2\)。
【法3】要是不用分離參數的方法，我們還可以這么分析呢？我們這樣想，分離參數法是從數的角度來求解的，那么我們可以換個思路，想想能不能從形上入手分析？這時候，最好將原方程\(f(x)=0\)變形得到兩個函數\(h(x)=m(x)\)，其中這兩個函數最好是基本初等函數，這樣它們的圖像我們不用費事就能做出來，同時讓參數配備個幾何意義那是最好的選擇，比如斜率等等，故求解如下：
由於函數\(f(x)=0\)在\(x\in (0，\cfrac{1}{2})\)上沒有零點，
則\((2-a)x-2(1+lnx)+a=0\)在\(x\in (0，\cfrac{1}{2})\)上沒有零點，
變形為\((2-a)(x-1)=2lnx(0< x <\cfrac{1}{2})\)
這樣左端為函數\(h(x)=(2-a)(x-1)\)，是過定點\((1，0)\)斜率是\(2-a\)的直線段，
右端為函數\(m(x)=2lnx\)，是過定點\((1，0)\)的對數型函數的一部分，圖像
當直線段過點\((1，0)\)和\((\cfrac{1}{2}，2ln\cfrac{1}{2})\)時，斜率為\(k=\cfrac{2-2ln\cfrac{1}{2}}{1-\cfrac{1}{2}}=4ln2\)，
由圖像可知，要讓這兩個定義在\(x\in (0，\cfrac{1}{2})\)上的函數沒有交點，
只需要函數\(h(x)\)的斜率\(2-a\)小於等於斜率\(k=4ln2\)即可，
故\(2-a\leq 4ln2\)，即則\(a\)的取值范圍是\(a\ge 2(1-2ln2)\)，
解后反思： 1、法1是這類問題的通用解法，但是分離參數后得到的右端的函數，其單調性用導數判斷可能很辛苦，這個題目就說明了這一點，而且用到了二階導數，一般學生根本分不清一階導數和二階導數的關系，所以慎重使用。
2、法2比法1雖然都是分離參數法，但是我們感覺法2比法1要簡單，其主要原因是法2采用的策略是，讓函數簡單些，讓參數復雜些，這樣運算量就小很多了。
3、法3將方程分離成立兩個基本初等函數的形式，這樣就可以很快很容易的使用形來解決問題了，到此我們也能體會命題人的意圖，能將問題簡化為我們學習過的，簡單模型的學生，是不是其思維具有更好的可塑性。
第22題 (坐標系與參數方程)
已知圓錐曲線\(C：\begin{cases}x=2cos\alpha\\y=\sqrt{3}cos\alpha\end{cases}(\alpha為參數)\)和定點\(A(0，\sqrt{3})\)，\(F_1，F_2\)是此圓錐曲線的左右焦點，以原點為極點，以\(x\)軸正半軸為極軸建立極坐標系。
(1)求直線\(AF_2\)的直角坐標方程；
(2)經過點\(F_1\)且與直線\(AF_2\)垂直的直線\(l\)交此圓錐曲線於\(M，N\)兩點，求\(||MF_1|-|NF_1||\)的值。
分析：(1)消參數得到曲線\(C\)的直角坐標方程為\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1\)；
由於\(A(0，\sqrt{3})\)，\(F_2( 1，0)\)，故直線方程為\(\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}=0\)。
此時直線的斜率為\(k_0=-\sqrt{3}\)；
(2)由上可知，直線\(l\)的斜率為\(k_1=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，即傾斜角為\(\alpha=\cfrac{\pi}{6}\)，
又點\(F_1(-1，0)\)，故直線\(l\)的參數方程為\(\begin{cases}x=x_0+cos\alpha\cdot t\\y=y_0+sin\alpha \cdot t \end{cases}(t為參數)\)
即\(\begin{cases}x=-1+\cfrac{\sqrt{3}}{2} t\\y=0+\cfrac{1}{2} t \end{cases}(t為參數)\)
將其代入曲線\(C\)的直角坐標方程\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1\)；
整理為\(13t^2-12\sqrt{3}t-36=0\)，
容易證明\(\Delta >0\)，令\(M，N\)分別對應的參數為\(t_1，t_2\)，
則有\(t_1+t_2=\cfrac{12\sqrt{3}}{13}>0\)，\(t_1t_2=-\cfrac{36}{13}<0\)；
則\(t_1，t_2\)異號，\(t_1>0，t_2<0\)或\(t_1<0，t_2>0\)
則\(|MF_1|-|NF_1|=-t_1-t_2\)，或者 \(|MF_1|-|NF_1|=t_1+t_2\)
則\(||MF_1|-|NF_1||=|t_1+t_2|=\cfrac{12\sqrt{3}}{13}\)。
1、有學生得到故直線\(l\)的參數方程為\(\begin{cases}x=-1+3m\\y=0+\sqrt{3}m \end{cases}(m為參數)\)
這個也是直線\(l\)的參數方程，不過這個方程不是直線的參數方程的標准形式，也就是說\(m\)和\(t\)的含義不一樣。
2、我們可以將這個非標准形式的參數方程轉化為標准形式的參數方程。如下轉化：
\(\begin{cases}x=-1+3m=-1+\cfrac{3}{\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}}\cdot \sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}\cdot m \\y=0+\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}}\cdot\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}\cdot m \end{cases}(m為參數)\)
即\(\begin{cases}x=-1+\cfrac{3}{2\sqrt{3}}\cdot 2\sqrt{3}\cdot m \\y=\cfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\cdot 2\sqrt{3}\cdot m \end{cases}(m為參數)\)
\(\begin{cases}x=-1+\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot m \\y=\cfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot m \end{cases}(m為參數)\)
此時令\(2\sqrt{3}m=t\)，則上述參數方程變形為
即\(\begin{cases}x=-1+\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot t\\y=\cfrac{1}{2}\cdot t \end{cases}(t為參數)\)
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