2017年高考全國卷3理科數學21題(1)的做法探究

已知函數$f(x)=x-1-a\ln x$

(1)若$f(x)\geqslant 0$，求$a$的值$.$

魏剛 2017年6月8日於獅子山上

我的解法1：評卷老師會給滿分嗎？(道理看之前的內容)

\(f(x)\geqslant 0=f(1)\Rightarrow x=1\)是\(f(x)\)的極值點

\(\Rightarrow f'(1)=0\Rightarrow a=1\)(這僅僅是必要條件，還需要驗證，此處略去)

我的解法2：切線放縮法

易證\(\ln x\leqslant x-1\)(證明略)

\((1)\)當\(a\leqslant 0\)時，$a\ln x\geqslant a(x-1)\Rightarrow x-1\geqslant a(x-1)\Rightarrow\left{

\begin{array}{ll}
x>1 \
a\leqslant 1
\end{array}
\right.\(且\)\left{
\begin{array}{ll}
0<x<1\
a\geqslant 1
\end{array}
\right.\Rightarrow a=1\(與\)a\leqslant 0$矛盾，此時無解；

\((2)\)當\(a> 0\)時，\(a\ln x\leqslant a(x-1)\)

$1^\circ x-1\leqslant a(x-1)\Rightarrow\left{

\begin{array}{ll}
x>1 \
a\geqslant 1
\end{array}
\right.\(且\)\left{
\begin{array}{ll}
0<x<1\
a\leqslant 1
\end{array}
\right.\Rightarrow a=1$；

$2^\circ x-1\geqslant a(x-1)\Rightarrow\left{

\begin{array}{ll}
x>1 \
a\leqslant 1
\end{array}
\right.\(且\)\left{
\begin{array}{ll}
0<x<1\
a\geqslant 1
\end{array}
\right.\Rightarrow a=1$；

綜上可知，\(a=1.\)

我的解法3：一定不妥的解法，估計學生會這樣做！(與解法1結合就是滿分！道理自己想！)

先猜\(a=1\)

接着證\(\ln x\leqslant x-1\)

證明：令\(g(x)=x-1-\ln x\Rightarrow g'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x}\Rightarrow g(x)\)在\((0\)，\(1)\)上單調遞減，在\((1\)，\(+\infty)\)上單調遞增，\(g(x)\geqslant 0\Rightarrow \ln x\leqslant x-1.\)

這種方法邏輯上存在問題，雖然答案正確\(.\)

我的解法4：有點超綱，用到洛必達法則！

\(f(x)\geqslant 0\Rightarrow x-1\geqslant a\ln x\)

構造函數\(g(x)=\dfrac{x-1}{\ln x}\Rightarrow g'(x)=\dfrac{\ln x-1-\frac{1}{x}}{\ln^2 x}=\dfrac{h(x)}{\ln^2 x}\)

\(\Rightarrow h'(x)=x-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x-1}{x^2}\Rightarrow h(x)\)在\((0\)，\(1)\)上單調遞減，在\((1\)，\(+\infty)\)上單調遞增，

\(\Rightarrow h(x)\geqslant 0\Rightarrow g'(x)\geqslant 0\Rightarrow g(x)\)在\((0\)，\(1)\)上單調遞增，在\((1\)，\(+\infty)\)上單調遞增，

而且\(\lim\limits_{x \to 1 }\dfrac{x-1}{\ln x}=\lim\limits_{x \to 1 }\dfrac{1}{\frac{1}{x}}=1\)

當\(x>1\)時，\(a\leqslant \dfrac{x-1}{\ln x}\to 1(x\to 1)\)；

當\(0<x<1\)時，\(a\geqslant \dfrac{x-1}{\ln x}\to 1(x\to 1)\)；

綜上可知，\(a=1.\)

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方法四：看參考答案

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