\(a\geqslant 1\)時，證明:\(\dfrac{ax^2+x-1}{\text{e}^x}+\text{e}\geqslant 0\)
方法（一）(切線放縮法)證明:原不等式等價於\(ax^2+x-1+\text{e}^{x+1}\geqslant 0\),
\(ax^2\geqslant x^2\) and \(\text{e}^{x+1}\geqslant (x+1)+1\)(這里需要證明一下)
原不等式等價於證明\(ax^2+x-1+\text{e}^{x+1}\geqslant x^2+2x+1=(x+1)^2\geqslant 0\)
方法（二）(不分離)令\(f(x)=\dfrac{ax^2+x-1}{\text{e}^x}+\text{e}\Rightarrow f'(x)=\dfrac{-(x-2)(ax+1)}{\text{e}^x}\)
\(\Rightarrow f(x)\)在\((-\infty,-\dfrac{1}{a}\)上單減，在\((-\dfrac{1}{a},2)\)上單增，在\((2,+\infty)\)上單減，且當\(x\rightarrow +\infty\)時\(f(x)>0\) and \(f(x)\rightarrow 0\)
因此只需\(f(-\dfrac{1}{a})\geqslant 0\)
而\(f(-\dfrac{1}{a})=\cdots=-\text{e}^{\frac{1}{a}}+\text{e}\geqslant 0\)
方法（三）(半分離)要討論三種情況，略去
方法（四）(全分離)(1)\(x=0\)時原不等式恆成立
(2)\(x\neq 0\)時原不等式等價於\(a\geqslant \dfrac{1}{x^2}-\dfrac{1}{x}-\dfrac{\text{e}^{x+1}}{x^2}\Rightarrow f'(x)=\dfrac{(2-x)(\text{e}^{x+1}-1)}{x^3}\)
\(\Rightarrow f(x)\)在\((-\infty,-1)\)上單增，在\((-1,0)\)上單減，在\((0,2)\)上單增，在\((2,+\infty)\)上單減
\(\Rightarrow a\geqslant max\{f(-1),f(2)\}=f(-1)=1\),證畢.
方法（五）(公切線法，但計算量大，不建議使用)
方法（六）方法不斷完善中.......