2018江蘇高考數學在一片簡單、計算量大的喧鬧聲中落下帷幕。歷年來，“數學帝”、“難”、“創新”、“數列”早已給江蘇高考數學打上了固有標簽，考前考后都受到無數江蘇非江蘇考生的關注，成為了難易評判的一個衡量標准. 已知集合\(A=\{x|x=2n-1,n\in N^\ast\},\) \(B=\{x|x=2^n,\)\(n\in N^\ast\}.\) 將\(A\cup B\)的所有元素從小到大排列構成一個數列\(\{a_n\}.\) 記\(S_n\)為數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和,則使得\(S_n>12a_{n+1}\) 成立的\(n\)的最小值為____.
此題作為小題來講，最優解法是列舉法：
$S_{26}=\dfrac{21(1+41)}{2}+\dfrac{2(1-2^5)}{1-2}=503, $ $a_{27}=43,12a_{27}=516, $不符
\(S_{27}=S_{26}+a_{27}=503+43=546,\)
$a_{28}=45,12a_{28}=540, $符合. $ \therefore\min n=27. $
那么問題來了，怎么知道要檢查26和27呢，或者說你是從第一項開始檢查，檢查到26和27才得到答案？這樣的過程在高考中是不是浪費時間呢？現在，咱們拋開高考因素來看看正常情況下怎么來解答這題. 首先按照下面的列表形式排列\(A\cup B\)中的元素：
其中\(i\) 表示行數，每行的第一列數是集合\(B\) 中的數， 用\(S(i)\) 表示前\(i\) 行元素的總和.
先說說具體思路：
根據\(S_n>12a_{n+1}\iff S_{n+1}>13a_{n+1}\) 計算每一行尾數作為\(a_{n+1}\) 是不是合乎要求.
如果不滿足要求，轉入下一行類似計算，如果滿足要求，再計算當前行至少哪個位置上的數滿足要求.
依次計算結果就是
所以要求的\(a_{n+1}\) 在第6行.
下面再確定是哪個數,計算所在整個數列的項數就可以了.
由於集合\(B\)中元素用的比較少，可以先只考慮\(A\)集合 $S_n=n^2>12(2n+1),n>24.5, $
於是在集合\(A\cup B\) 中 \(a_{25}=39\)附近來求解. 這樣也可以降低計算量.
如果題目中的12數字改大點，計算量會增加不少，下面我們按照計算題的模式來求解，以便於推廣.
不難看出 \(S(i)=2+\cdots+2^{i-1}+1+3+\cdots+(2^i-1)\) \(=\dfrac{2-2^i}{1-2}+(2^{i-1})^2=2^i-2+2^{2i-2}\)
算一下\(a_{n+1}\) 至少在哪一行，
\(S(i)\) 與 \(i\)行尾數即\(2^i-1\) 比較， 即 使得 \(2^i-2+2^{2i-2}>13(2^i-1)\)，
解出\(2^i>47,\) 因此\(a_{n+1}\) 必定在第 \(i=6\)行.
下面再算\(a_{n+1}\) 在第6行的第幾個位置.
前5行的和為\(S(5)=2^5-2+2^{2\times5-2}=286,\)
假設\(a_{n+1}\) 是第6行第\(j\) 個數,
當$j=1 $ 時$286+32-13\times32=-98<0 $
當 $j\neq1 $時，$286+32 j+1+3+\cdots+2j-3 $
\(=286+32j+(j-1)^2>13(32+(2j-3))\)
解出\(j>7.69\) ，從而 \(j=8.\)即 \(a_{n+1}=45.\)
再算出45位於整個數列的項數，前5行共 有$(5-1)+2^{5-1}=20 $ 個數，
所以 \(a_{28}=45, n=27.\)
如果將題目要求改成\(S_n>26a_{n+1}\) ,
按照上述方法,可以解出要求的 \(n=57.\)
$S_{n}>26a_{n+1}\iff S_{n+1}>27a_{n+1} $,
根據\(2^i-2+2^{2i-2}>27(2^i-1)\) 求出\(2^i>105,i=7\)
所以\(a_{n+1}\)位於第7行,
前6行的和為\(S(6)=2^6-2+2^{2\times6-2}=1086,\)
假設\(a_{n+1}\)位於第7行第\(j\)個位置,
\(1086+64j+(j-1)^2>27(64+(2j-3),\)
解出 \(j>20\),取\(j=21,\) 前6行共有\((6-1)+2^{6-1}=37\)個數，
所以\(S_{58}>27a_{58},n=57\)
驗證:\(S_{56}<27a_{56},S_{57}=27a_{57},S_{58}>27a_{58}.\)