已知\(f(x)=(2+x+ax^2)\ln(1+x)-2x\)
(2)若\(x=0\)是\(f(x)\)的極大值點，求實數\(a\)的值.
其實該問可以寫的更簡潔一點，那個“大”字可以不要，或者直接改為“若$f(x)\leqslant 0$, 求$a$的值.”
其實就是去年高考題的深挖，雖然我們也進行了，但是力度沒有高考強.
2017年四川高考數學(全國卷3)理科21題第1問
已知函數\(f(x)=x-1-a\ln x\)
(1)若\(f(x)\geqslant 0\)，求\(a\)的值\(.\)
{\bf 練習(自編題)}已知不等式\(2x\ln x+a(x-a)(x-1)\geqslant 0\)恆成立，求實數\(a\)的值.
{\color{red}{\bf 分析：}}令\(f(x)=2x\ln x+a(x-a)(x-1)\)，則易知\(f(1)=0\)
\(\Rightarrow f'(1)=0\)(其中\(f'(x)=2+2\ln x+a(x-1)+a(x-a)\))
\(\Rightarrow 2+a(1-a)=0\)
\(\Rightarrow a=2\)或\(a=-1\)
檢驗：當\(a=-1\)時，\(f(x)=2x\ln x-(x+1)(x-1)\)
\(\Rightarrow f'(x)=2+2\ln x-2x=2[\ln x-(x-1)]\leqslant 0\)(其中用到切線放縮“\(x-1\geqslant \ln x\)”)
此時，雖然\(f(1)=0\)，但是\(x=1\)並不是函數\(f(x)\)的最小值點{\color{red}{\bf (思考：此時發生的現象是什么？)}}
當\(a=2\)時，\(f(x)=2x\ln x+2(x-2)(x-1)\)
\(\Rightarrow f'(x)=2\ln x+4x-4\)(其中\(f'(x)\)單調遞增且\(f'(1)=0\))
$\Rightarrow \(函數\)f(x)$的草圖
顯然，此時\(f(x)_{_{min}}=f(1)=0\)，因此\(a=2\)符合條件。
綜上可知，\(a=2\).
現在對這題的另類解法進行瞎談
想法一：當\(m\rightarrow 0\)時，上圖\(h(x)\)在點\((m,h(m))\)處的二階泰勒展開\(g(x)\rightarrow 2+x-\dfrac{1}{6}x^2\)，
得到\(a=-\dfrac{1}{6}\)(還要驗證，此處略去)
想法二：用鄰域的思想來處理,道理自己想(計算還可以去分母，這樣計算更簡單，讀者自己去算哈)
\(f'(x)=(1+2ax)\ln(1+x)+\dfrac{ax^2-x}{1+x}\Rightarrow f'(0)=0\)
恆成立，
\(f''(x)=2ax\ln(1+x)+\dfrac{1+2ax}{1+x}+\dfrac{ax^2+2ax-1}{(1+x)^2}\Rightarrow f''(0)=0\)
恆成立，
\(f'''(x)=\dfrac{2a}{1+x}+\dfrac{2a(x+1)-(1+2ax)}{(1+x)^2}+\dfrac{(2ax+2a)(1+x)^2-2(1+x)(ax^2+2ax-1)}{(1+x)^4}\Rightarrow f'''(0)=6a+1=0\)
恆成立， 得到\(a=-\dfrac{1}{6}\)(還要驗證，此處略去)
和它相似的題，方法一、二和上面一樣，方法三如下
