函数\(f(x)=\cfrac{4^x+1}{2^x}\)的图像【】
A、关于原点对称\(\;\;\;\;\;\) B、关于\(x\)轴对称\(\;\;\;\;\;\) C、关于\(y\)轴对称\(\;\;\;\;\;\) D、关于直线\(y=x\)轴对称\(\;\;\;\;\;\)
分析：注意到\(f(x)=\cfrac{4^x+1}{2^x}=\cfrac{(2^x)^2+1}{2^x}=2^x+\cfrac{1}{2^x}=2^x+2^{-x}\)，
则\(f(-x)=2^{-x}+2^{-(-x)}=2^x+2^{-x}=f(x)\)，故函数\(f(x)\)为偶函数，故选B。
解后反思：
1、积累常见函数的奇偶性很重要，比如\(f(x)=e^x+e^{-x}\)为偶函数，\(f(x)=e^{|x|}\)为偶函数，\(f(x)=e^x-e^{-x}\)为奇函数，等等。
2、函数的奇偶性
若正数\(x，y\)满足\(x+3y=5xy\)，则\(3x+4y\)的最小值是【】
A、\(\cfrac{24}{5}\;\;\;\;\;\) B、\(\cfrac{28}{5}\;\;\;\;\;\) C、\(5\;\;\;\;\;\) D、\(6\;\;\;\;\;\)
分析：给已知式子\(x+3y=5xy\)，两边同除以 \(xy\)得到，\(\cfrac{3}{x}+\cfrac{1}{y}=5\)，
则问题转化为已知\(\cfrac{3}{x}+\cfrac{1}{y}=5\)，求\(3x+4y\)的最小值
则\(3x+4y=\cfrac{1}{5}(3x+4y)(\cfrac{3}{x}+\cfrac{1}{y})\)，
\(=\cfrac{1}{5}(9+4+\cfrac{12y}{x}+\cfrac{3x}{y})\ge \cfrac{1}{5}(13+2\sqrt{36})=5\)，
当且仅当\(\cfrac{12y}{x}=\cfrac{3x}{y}\)且\(x+3y=5xy\)时，即\(x=1， y=\cfrac{1}{2}\)时取得等号。
故选C。
1、务必注意限定条件的给出方式，比如题目若给定\(\cfrac{3}{x}+\cfrac{1}{y}=5\)就比给定\(\cfrac{x}{y}+3=5x\)要简单的多。
2、学习方法的改造和提升
第11题 (已知零点的个数，求参数的取值范围)
若函数\(f(x)=m-x^2+2lnx\)在区间\([\cfrac{1}{e^2}，e]\)上有两个不同的零点，则实数\(m\)的取值范围是【】
法1：先数后形，分离参数，得到\(m=x^2-2lnx\)，
令\(h(x)=x^2-2lnx(x\in [\cfrac{1}{e^2}，e])\)，用导数研究函数的单调性，以画出大致图像。
\(h'(x)=2x-\cfrac{2}{x}=\cfrac{2x^2-2}{x}=\cfrac{2(x-1)(x+1)}{x}\)，
故在\((\cfrac{1}{e^2}，1)\)上，\(h'(x)<0\)，\(h(x)\)单调递减，
在\((1，e)\)上，\(h'(x)>0\)，\(h(x)\)单调递增，
故\(h(x)_{min}=h(1)=1\)，
端点值\(h(\cfrac{1}{e^2})=4+\cfrac{1}{e^4}\)，\(h(e)=e^2-2\)，且\(h(e)>h(\cfrac{1}{e^4})\)，
在同一个坐标系中作出函数\(y=m\)和函数\(y=h(x)\)的图像，
要使两个函数的图像有两个交点，
由图像可知，\(1< m \leqslant 4+\cfrac{1}{e^2}\)。故选\(C\).
法2：利用参数的几何意义，直接从形上考虑？待编辑
参考图像
(1)已知\(a_2=2\)，且\(a_3\)是\(S_1，S_3\)的等差中项，求数列\(\{a_n\}\)的通项公式；
(2)当\(a_1=1\)，\(q=2\)时，令\(b_n=log_4(S_n+1)\)，求证：数列\(\{b_n\}\)是等差数列。
(1)求顾客抽奖一次能获奖的概率。
【法1】(相互独立事件+互斥事件)：记“抽奖一次能获一等奖”为事件\(A\)，“抽奖一次能获二等奖”为事件\(B\)，
“顾客抽奖一次能获奖”为事件\(C\)，则事件\(A、B\)是互斥事件，且\(C=A+B\)，两次抽奖是相互独立事件，
则\(P(A)=\cfrac{C_4^1}{C_{10}^1}\cdot \cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=\cfrac{20}{100}\)，
\(P(B)=\cfrac{C_4^1}{C_{10}^1}\cdot \cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}+\cfrac{C_6^1}{C_{10}^1}\cdot \cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=\cfrac{50}{100}\)
故\(P(C)=P(A+B)=\cfrac{70}{100}=\cfrac{7}{10}\)。
【法2】(对立事件+相互独立事件)：设“没有获奖”为事件\(D\)，
则\(P(C)=1-P(D)=1-\cfrac{C_6^1}{C_{10}^1}\cdot \cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=\cfrac{7}{10}\)。
(2)若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获得一等奖的次数为\(X\)，求\(X\)的分布列、数学期望和方差。
由于顾客在每次抽奖过程中，中一等奖的概率都为\(\cfrac{C_4^1}{C_{10}^1}\cdot \cfrac{C_5^1}{C_{10}^1}=\cfrac{1}{5}\)，
那么此人抽奖3次，相当于做了3次独立重复实验，故\(X\sim B(3，\cfrac{1}{5})\)，\(X=0，1，2，3\)；
即\(P(X=k)=C_3^k\cdot (\cfrac{1}{5})^k(1-\cfrac{1}{5})^{3-k}\)，\(k=0，1，2，3\)；
则\(P(X=0)=C_3^0\cdot (\cfrac{1}{5})^0(1-\cfrac{1}{5})^{3-0}=\cfrac{64}{125}\)，
\(P(X=1)=C_3^1\cdot (\cfrac{1}{5})^1(1-\cfrac{1}{5})^{3-1}=\cfrac{48}{125}\)，
\(P(X=2)=C_3^2\cdot (\cfrac{1}{5})^2(1-\cfrac{1}{5})^{3-2}=\cfrac{12}{125}\)，
\(P(X=3)=C_3^3\cdot (\cfrac{1}{5})^3(1-\cfrac{1}{5})^{3-3}=\cfrac{1}{125}\)，
分布列略，数学期望为\(EX=3\times \cfrac{1}{5}=\cfrac{3}{5}\)
方差为\(DX=3\times \cfrac{1}{5}\times (1-\cfrac{1}{5})=\cfrac{12}{25}\)
1、求复杂事件的概率，需要将复杂事件分化为几个简单的事件，且必须弄清楚个事件之间的关系，这会决定后续的计算是用加法还是乘法。
2、\(n\)次独立重复实验中，离散型随机变量\(X\sim B(n，p)\)，则\(EX=np\)，\(DX=np(1-p)\)。
(1)若函数\(f(x)\)在区间\((0，\cfrac{1}{2})\)上无零点，求实数\(a\)的最小值。
【法1】(分离参数，参数形式简单，函数复杂)
碰到这类问题，我们的第一反应往往是分离参数，然后数形结合求解，但是这个方法不见得是很恰当和很灵活的。
先变形为\(a(1-x)=2+2lnx-2x\)，再分离参数为\(a=\cfrac{2+2lnx-2x}{1-x}\)，其中\(x\in (0，\cfrac{1}{2})\)，
令函数\(h(x)=\cfrac{2+2lnx-2x}{1-x}\)，接下来用导数研究单调性，准备做函数的大值图像，
\(h'(x)=\cfrac{(\cfrac{2}{x}-2)(1-x)-(2+2lnx-2x)(-1)}{(1-x)^2}=\cfrac{2lnx+\cfrac{2}{x}-2}{(1-x)^2}\)
暂时没法看透\(h'(x)\)的正负值，也无法判断原函数\(h(x)\)的增减性，
故再设\(h'(x)\)的分子函数为\(m(x)=2lnx+\cfrac{2}{x}-2\)，
\(m'(x)=\cfrac{2}{x}-\cfrac{2}{x^2}=\cfrac{2x-2}{x^2}\)，
由于\(0< x <\cfrac{1}{2}\)，故\(m'(x) <0\)，即\(m(x)\)单调递减，
故函数\(m(x)\)的最小值的极限为\(m(\cfrac{1}{2})=2ln\cfrac{1}{2}+4-2=2(1-ln2)>0\)
编外话：由分子函数\(m(x)\)的最小值的极限为正，说明函数\(h'(x)\)的分子都为正，
故\(h'(x)=\cfrac{m(x)}{(1-x)^2}>0\)，故函数\(h(x)\)在\(x\in (0，\cfrac{1}{2})\)上单调递增，
故\(h(x)\)的最大值的极限为\(h(\cfrac{1}{2})=\cfrac{2+2ln\cfrac{1}{2}-2\times\cfrac{1}{2}}{1-\cfrac{1}{2}}=2(1-2ln2)\)
要使直线\(y=a\)与函数\(y=h(x)(0< x <\cfrac{1}{2})\)没有交点，
则\(a\)的取值范围是\(a\ge 2(1-2ln2)\)，故\(a_{min}=2-4ln2\)。
【法2】(分离参数，参数形式复杂，函数简单)
将原方程\((2-a)x-2(1+lnx)+a=0\)，变形为\(\cfrac{2-a}{2}=\cfrac{lnx}{x-1}\)，
令\(h(x)=\cfrac{lnx}{x-1}\)，
则\(h'(x)=\cfrac{\cfrac{1}{x}(x-1)-lnx}{(x-1)^2}=\cfrac{1-\cfrac{1}{x}-lnx}{(x-1)^2}\)
令\(m(x)=1-\cfrac{1}{x}-lnx\)，
则\(m'(x)=\cfrac{1}{x^2}-\cfrac{1}{x}=\cfrac{1-x}{x^2}>0\)在\((0，\cfrac{1}{2})\)上恒成立，
故函数\(m(x)\)在\((0，\cfrac{1}{2})\)单调递增，
故\(m(x)_{max}\)的极限为\(m(\cfrac{1}{2})=1-2-ln\cfrac{1}{2}=ln2-1<0\)
则函数\(h'(x)=\cfrac{m(x)}{(x-1)^2}<0\)在\((0，\cfrac{1}{2})\)上恒成立，
函数\(h(x)\)在\((0，\cfrac{1}{2})\)上单调递减，
则\(h(x)_{min}\)的极限为\(h(\cfrac{1}{2})=\cfrac{ln\cfrac{1}{2}}{\cfrac{1}{2}-1}=2ln2\)
要使得原方程无解，必须满足函数\(y=\cfrac{2-a}{2}\)与函数\(y=h(x)\)没有交点，
即\(\cfrac{2-a}{2}\leq 2ln2\)，即\(a\ge 2-4ln2\)
故\(a_{min}=2-4ln2\)。
【法3】要是不用分离参数的方法，我们还可以这么分析呢？我们这样想，分离参数法是从数的角度来求解的，那么我们可以换个思路，想想能不能从形上入手分析？这时候，最好将原方程\(f(x)=0\)变形得到两个函数\(h(x)=m(x)\)，其中这两个函数最好是基本初等函数，这样它们的图像我们不用费事就能做出来，同时让参数配备个几何意义那是最好的选择，比如斜率等等，故求解如下：
由于函数\(f(x)=0\)在\(x\in (0，\cfrac{1}{2})\)上没有零点，
则\((2-a)x-2(1+lnx)+a=0\)在\(x\in (0，\cfrac{1}{2})\)上没有零点，
变形为\((2-a)(x-1)=2lnx(0< x <\cfrac{1}{2})\)
这样左端为函数\(h(x)=(2-a)(x-1)\)，是过定点\((1，0)\)斜率是\(2-a\)的直线段，
右端为函数\(m(x)=2lnx\)，是过定点\((1，0)\)的对数型函数的一部分，图像
当直线段过点\((1，0)\)和\((\cfrac{1}{2}，2ln\cfrac{1}{2})\)时，斜率为\(k=\cfrac{2-2ln\cfrac{1}{2}}{1-\cfrac{1}{2}}=4ln2\)，
由图像可知，要让这两个定义在\(x\in (0，\cfrac{1}{2})\)上的函数没有交点，
只需要函数\(h(x)\)的斜率\(2-a\)小于等于斜率\(k=4ln2\)即可，
故\(2-a\leq 4ln2\)，即则\(a\)的取值范围是\(a\ge 2(1-2ln2)\)，
解后反思： 1、法1是这类问题的通用解法，但是分离参数后得到的右端的函数，其单调性用导数判断可能很辛苦，这个题目就说明了这一点，而且用到了二阶导数，一般学生根本分不清一阶导数和二阶导数的关系，所以慎重使用。
2、法2比法1虽然都是分离参数法，但是我们感觉法2比法1要简单，其主要原因是法2采用的策略是，让函数简单些，让参数复杂些，这样运算量就小很多了。
3、法3将方程分离成立两个基本初等函数的形式，这样就可以很快很容易的使用形来解决问题了，到此我们也能体会命题人的意图，能将问题简化为我们学习过的，简单模型的学生，是不是其思维具有更好的可塑性。
第22题 (坐标系与参数方程)
已知圆锥曲线\(C：\begin{cases}x=2cos\alpha\\y=\sqrt{3}cos\alpha\end{cases}(\alpha为参数)\)和定点\(A(0，\sqrt{3})\)，\(F_1，F_2\)是此圆锥曲线的左右焦点，以原点为极点，以\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)求直线\(AF_2\)的直角坐标方程；
(2)经过点\(F_1\)且与直线\(AF_2\)垂直的直线\(l\)交此圆锥曲线于\(M，N\)两点，求\(||MF_1|-|NF_1||\)的值。
分析：(1)消参数得到曲线\(C\)的直角坐标方程为\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1\)；
由于\(A(0，\sqrt{3})\)，\(F_2( 1，0)\)，故直线方程为\(\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}=0\)。
此时直线的斜率为\(k_0=-\sqrt{3}\)；
(2)由上可知，直线\(l\)的斜率为\(k_1=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，即倾斜角为\(\alpha=\cfrac{\pi}{6}\)，
又点\(F_1(-1，0)\)，故直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases}x=x_0+cos\alpha\cdot t\\y=y_0+sin\alpha \cdot t \end{cases}(t为参数)\)
即\(\begin{cases}x=-1+\cfrac{\sqrt{3}}{2} t\\y=0+\cfrac{1}{2} t \end{cases}(t为参数)\)
将其代入曲线\(C\)的直角坐标方程\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1\)；
整理为\(13t^2-12\sqrt{3}t-36=0\)，
容易证明\(\Delta >0\)，令\(M，N\)分别对应的参数为\(t_1，t_2\)，
则有\(t_1+t_2=\cfrac{12\sqrt{3}}{13}>0\)，\(t_1t_2=-\cfrac{36}{13}<0\)；
则\(t_1，t_2\)异号，\(t_1>0，t_2<0\)或\(t_1<0，t_2>0\)
则\(|MF_1|-|NF_1|=-t_1-t_2\)，或者 \(|MF_1|-|NF_1|=t_1+t_2\)
则\(||MF_1|-|NF_1||=|t_1+t_2|=\cfrac{12\sqrt{3}}{13}\)。
1、有学生得到故直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases}x=-1+3m\\y=0+\sqrt{3}m \end{cases}(m为参数)\)
这个也是直线\(l\)的参数方程，不过这个方程不是直线的参数方程的标准形式，也就是说\(m\)和\(t\)的含义不一样。
2、我们可以将这个非标准形式的参数方程转化为标准形式的参数方程。如下转化：
\(\begin{cases}x=-1+3m=-1+\cfrac{3}{\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}}\cdot \sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}\cdot m \\y=0+\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}}\cdot\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}\cdot m \end{cases}(m为参数)\)
即\(\begin{cases}x=-1+\cfrac{3}{2\sqrt{3}}\cdot 2\sqrt{3}\cdot m \\y=\cfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\cdot 2\sqrt{3}\cdot m \end{cases}(m为参数)\)
\(\begin{cases}x=-1+\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot m \\y=\cfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot m \end{cases}(m为参数)\)
此时令\(2\sqrt{3}m=t\)，则上述参数方程变形为
即\(\begin{cases}x=-1+\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot t\\y=\cfrac{1}{2}\cdot t \end{cases}(t为参数)\)
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