2018年宝鸡市三检文科数学题目解答

选择题：

例2 【2018宝鸡市三检文科第2题】(复数的模的计算)设\(i\)是虚数单位，\(\bar{z}\)是复数\(z\)的共轭复数，若\((1+i)\cdot \bar{z}=2\)，则\(|z|=\)【】

$A.1$ $B.\sqrt{2}$ $C.2$ $D.2\sqrt{2}$

法1：设\(z=a+bi(a，b \in R)\)，则\(\bar{z}=a-bi\)，代入已知得到\((1+i)(a-bi)=1\)

整理得到，\((a+b)+(a-b)i=2\)，则有\(a+b=2\)，\(a-b=0\)，故\(a=b=1\)，

即\(z=1+i\)，则\(|z|=\sqrt{2}\)，选\(B\)；

法2：利用复数的模的性质，由已知可得，\(|(1+i)\cdot \bar{z}|=|2|\)，

即\(|(1+i)||\bar{z}|=2\)，即\(\sqrt{2}|\bar{z}|=2\)，则\(|\bar{z}|=\sqrt{2}\)，

又\(|\bar{z}|=|z|=2\)，故选B。

例2 【2018宝鸡市三检文科第3题】(判断函数的奇偶性或对称性)函数\(f(x)=\cfrac{4^x+1}{2^x}\)的图像【】

$A.关于原点对称$

$B.关于x轴对称$

$C.关于$y$轴对称$

$D.关于直线y=x轴对称$

分析：注意到\(f(x)=\cfrac{4^x+1}{2^x}=\cfrac{(2^x)^2+1}{2^x}=2^x+\cfrac{1}{2^x}=2^x+2^{-x}\)，

则\(f(-x)=2^{-x}+2^{-(-x)}=2^x+2^{-x}=f(x)\)，故函数\(f(x)\)为偶函数，故选\(C\)。

解后反思： 1、积累常见函数的奇偶性很重要，比如\(f(x)=e^x+e^{-x}\)为偶函数，\(f(x)=e^{|x|}\)为偶函数，\(f(x)=e^x-e^{-x}\)为奇函数，等等。

例7 【2018宝鸡市三检文科第7题】(程序框图+解对数不等式组)执行如图所示的程序框图，若输出\(i\)的值是5，则输入的\(t\)的取值范围是【】

$A.(-\infty，27)$ $B.(3，27)$ $C.[3，27)$ $D.[27，54)$

分析：第一次循环，当\(i=1\)时，不能退出循环，由于是将\(log_3t\)赋值给了\(t\)，故下一步判断应为\(log_3t\ge 0\)，而不是\(t\ge 0\)，此时\(i=3\)

第二次循环，当\(i=3\)时，也不能退出循环，同上，应有\(log_3(log_3t)\ge 0\)，此时\(i=5\)

第三次循环，当\(i=5\)时，应该退出循环，同上，应有\(log_3[log_3(log_3t)]< 0\)，此时输出\(i=5\)

故要求得\(t\)的范围，必须满足如下的不等式组，

\(\begin{cases}log_3t\ge 0\\log_3(log_3t)\ge 0\\log_3[log_3(log_3t)]< 0\end{cases}\)

求解\(log_3t\ge 0=log_31\)得到\(t\ge 1①\)；

求解\(log_3(log_3t)\ge 0=log_31\)得到\(t\ge 3②\)；

求解\(log_3[log_3(log_3t)]< 0=log_31\)得到\(3 < t <27③\)；

求交集得到\(3 < t < 27\)，故选B。

解后反思：1、 熟练掌握对数不等式组的解法。每解决一个对数不等式，都需要从单调性和定义域两个角度来限制，比如求解不等式\(log_3[log_3(log_3t)]< 0\)，从定义域的角度来限制，必须满足每一个真数都大于零，即\(\begin{cases}t>0\\log_3t>0\\log_3(log_3t)>0\end{cases}\)，即\(\begin{cases}t>0\\log_3t>0=log_31\\log_3(log_3t)>log_31\end{cases}\)，即\(\begin{cases}t>0\\t>1\\log_3t>1\end{cases}\)，
即\(\begin{cases}t>0\\t>1\\t>3\end{cases}\)，故从定义域的角度得到\(t>3\)，从单调性的角度来限制，需要先将常数对数化，目的是为了利用单调性，将真数位置的整体降到一般位置，即先变形为\(log_3[log_3(log_3t)]< log_31\)，则由单调性得到\(log_3(log_3t)]<1\)，即\(log_3(log_3t)]<1=log_33\)，即\(log_3t<3=log_327\)，即从单调性角度得到，\(t<27\)，综上，不等式\(log_3[log_3(log_3t)]< 0\)的解集为\(3 < t < 27\)。

例12 【2018宝鸡市三检文科第12题】(特殊方法求解析式)已知函数\(f(x)\)在定义域\((0，+\infty)\)上是单调函数，若对于任意\(x\in(0，+\infty)\)都有\(f(f(x)-\cfrac{1}{x})=2\)，则函数\(f(x)\)的解析式为【】

$A.f(x)=x$ $B.f(x)=\cfrac{1}{x}$ $C.f(x)=x+1$ $D.f(x)=\cfrac{1}{x}$

分析：令自变量位置的整体\(f(x)-\cfrac{1}{x}=t\)，则\(f(x)=t+\cfrac{1}{x}\)，且有\(f(t)=2\)；

又令\(f(x)=t+\cfrac{1}{x}\)中的\(x=t\)，得到\(f(t)=t+\cfrac{1}{t}\)，结合\(f(t)=2\)，

得到\(t+\cfrac{1}{t}=2\)，又定义域是\((0，+\infty)\)，解得\(t=1\)，

故代入\(f(x)=t+\cfrac{1}{x}\)得到解析式为\(f(x)=\cfrac{1}{x}+1\)。

解后反思：1、本题目考查了复合函数，整体思想，赋值法等数学知识，综合程度比较高。

2、求函数的解析式中的特殊方法

填空题：

例13 【2018宝鸡市三检文科第13题】(由线性回归方程求某个缺省值)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次实验，根据收集到的数据(如表格所示)，由最小二乘法球的回归方程\(\hat{y}=0.67x+54.9\)，现发现表中有一个数据看不清，请你推断该数据的值为___________

分析：由于数据中心点\((\bar{x}，\bar{y})\)必然在回归直线上，故先求得\(\bar{x}=30\)，

代入回归直线方程得到，\(\bar{y}=0.67\times 30+54.9=75\)，

在计算数据是采用简单的算法，取参考值为75，设缺省值为\(m\)

则有\(75=75+\cfrac{-13+(m-75)+0+6+14}{5}\)，解得\(m=68\)。

解后反思：

1、 数据中心点\((\bar{x}，\bar{y})\)必然在回归直线上，

2、注意算法的简洁性，省时省力。

例16 【2018宝鸡市三检文科第16题】(求数列的通项公式或求数列的某一项的值)设数列\(\{a_n\}\)的前\(n\)项和为\(S_n\)，且\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2S_n+3\)，则\(S_4=\)___________

法1：先求得通项，再求值，\(S_{n+1}-S_n=2S_n+3\)，

即\(S_{n+1}=3S_n+3\)，两边同加\(\cfrac{3}{2}\)，得到

\(S_{n+1}+\cfrac{3}{2}=3S_n+3+\cfrac{3}{2}\)，即\(S_{n+1}+\cfrac{3}{2}=3S_n+\cfrac{9}{2}\)，

\(S_{n+1}+\cfrac{3}{2}=3(S_n+\cfrac{3}{2})\)，又\(S_1+\cfrac{3}{2}=\cfrac{5}{2}\neq 0\)，

故数列\(\{S_n+\cfrac{3}{2}\}\)是首项为\(\cfrac{5}{2}\)，公比为\(3\)的等比数列，

则\(S_4+\cfrac{3}{2}=\cfrac{5}{2}\cdot 3^{4-1}\)，

从而计算得到\(S_4=66\)，很麻烦。

如果题目是求解\(S_{400}\)，那么法1就起了大作用，法2就失效了。

法2：由于所求为\(S_4\)，下标很小，所以我们常常利用\(a_{n+1}=2S_n+3\)递推计算，

\(a_1=1\)，代入\(a_{n+1}=2S_n+3\)，则\(a_2=2a_1+3=5\)，

则\(a_3=2(a_1+a_2)+3=15\)，\(a_4=2(a_1+a_2+a_3)+3=45\)，

故\(S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=1+5+15+45=66\)。

解答题：

例17 【2018宝鸡市三检文科第17题】(三角函数和解三角形)已知向量\(\vec{a}=(2sinx，\sqrt{3}cosx)\)，\(\vec{b}=(-sinx，2sinx)\)，\(f(x)=\vec{a}\cdot \vec{b}\)，

(1)求\(f(x)\)的单调递增区间；

(2)在\(\Delta ABC\)中，\(a、b、c\)分别是角\(A、B、C\)的对边且\(f(C)=1\)，\(c=1\)，\(ab=2\sqrt{3}\)，\(a>b\)，求\(a、b\)的值。

分析：(1)\(f(x)=\vec{a}\cdot\vec{b}=2sinx\cdot (-sinx)+\sqrt{3}cosx\cdot 2sinx\)，

\(=\sqrt{3}sin2x+cos2x-1=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})-1\)；

令\(-\cfrac{\pi}{2}+2k\pi \leq 2x+\cfrac{\pi}{6}\leq \cfrac{\pi}{2}+2k\pi\)

得到\(-\cfrac{\pi}{3}+k\pi \leq x\leq \cfrac{\pi}{6}+k\pi\)

故\(f(x)\)的单调递增区间为\([-\cfrac{\pi}{3}+k\pi，\cfrac{\pi}{6}+k\pi](k\in Z)\)

(2)由\(f(C)=1\)，即\(2sin(2C+\cfrac{\pi}{6})-1=1\)，即\(sin(2C+\cfrac{\pi}{6})=1\)，

则有\(2C+\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{\pi}{2}\)，故\(C=\cfrac{\pi}{6}\)；

又\(c=1\)，\(ab=2\sqrt{3}\)，由余弦定理得到

\(c^2=1=a^2+b^2-2abcos\cfrac{\pi}{6}\)，

即\(a^2+b^2=7\)，联立\(ab=2\sqrt{3}\)，

解得\(a=2，b=\sqrt{3}\)或\(a=2，b=\sqrt{3}\)，

由于\(a>b\)，故\(a=2，b=\sqrt{3}\)。

例19 【2018宝鸡市三检文科第19题】(概率与统计)某中学高三文科班学生参加了数学与英语水平测试，学校从测试合格的学生中随机抽取了100人的成绩进行统计分析，抽取的100人的数学与英语水平测试的成绩如表，成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示英语成绩与数学成绩，例如：表格中数学成绩为良好的共有\(20+18+4=42\)人。

(1)若该样本中，数学成绩的优秀率为\(30%\)，求\(a、b\)的值。

(2)若样本中\(a\ge 10\)，\(b\ge 8\)，求在英语成绩及格的学生中，数学成绩优秀的人数比及格的人数少的概率。

分析(1)由题可知，\(\cfrac{7+9+a}{100}=30%\)，解得\(a=14\)，故\(b=100-(7+20+5+9+18+6+a+4)=17\)；

(2)首先明确，第二问与第一问已经没有关系了。

“在英语成绩及格的学生中”，指的是\(a+b+4=35\)人，即\(a+b=31\)人，

"数学成绩优秀的人数"指的是\(a\)，"数学成绩及格的人数"指的是\(b\)，

即需要满足\(a < b\)，同时需满足\(a\ge 10\)，\(b\ge 8\)，以及\(a，b\in N^*\)，

故由\(a、b\)组成的所有情况用坐标形式\((a，b)\)表达，则共有

\((10，21)\)，\((11，20)\)，\((12，19)\)，\((13，18)\)，

\((14，17)\)，\((15，16)\)，\((16，15)\)，\((17，14)\)，\((18，13)\)，\((19，12)\)，

\((20，11)\)，\((21，10)\)，\((22，9)\)，\((23，8)\)共有\(14\)种情形，其中满足\(a < b\)的有

\((10，21)\)，\((11，20)\)，\((12，19)\)，\((13，18)\)，\((14，17)\)，\((15，16)\)，

设“数学成绩优秀的人数比及格的人数少”为事件\(B\)，则\(P(B)=\cfrac{6}{14}=\cfrac{3}{7}\)。

例21 【2018宝鸡市三检文科第21题】(函数与导数)已知函数\(f(x)=\cfrac{x^2+ax+1}{x}(x>0，a\in R)\)。

(1)当\(a\leq -2\)时，讨论函数\(f(x)\)的零点个数。

(2)若函数\(g(x)=e^x-lnx+2x^2+1\)，对任意\(x\in(0，+\infty)\)，总有\(xf(x)\leq g(x)\)成立，求实数\(a\)的最大值。

分析：(1)法1：\(f(x)=x+\cfrac{1}{x}+a\)，由于求函数的零点的个数，

故令\(f(x)=0\)，即\(-a=x+\cfrac{1}{x}\)，

或者令\(f(x)=0\)，即\(x^2+ax+1=0\)，即\(-ax=x^2+1\)

分离参数得到，\(-a=x+\cfrac{1}{x}\)，

至此，做函数\(y=x+\cfrac{1}{x}\)和函数\(y=-a\)的图像，

由图像可以看出，当\(a=-2\)时，两个函数的图像有一个交点，即原函数有一个零点；

当\(a<-2\)时，两个函数的图像有两个交点，即原函数有两个零点；

(2)由题目可知，\(x^2+ax+1\leq e^x-lnx+2x^2+1\)对任意\(x>0\)恒成立，

变形得到\(ax\leq e^x-lnx+x^2\)，

分离参数得到\(a\leq \cfrac{e^x-lnx+x^2}{x}\)对任意\(x>0\)恒成立，

故令\(h(x)=\cfrac{e^x-lnx+x^2}{x}\)，需要求出\(h(x)_{min}\)，

\(h'(x)=\cfrac{(e^x-\cfrac{1}{x}+2x)\cdot x-(e^x-lnx-x^2)\cdot 1}{x^2}\)

\(=\cfrac{e^x(x-1)+lnx-1+x^2}{x^2}\)

令\(m(x)=e^x(x-1)+lnx-1+x^2\)，

\(m'(x)=e^x(x-1)+e^x+\cfrac{1}{x}+2x=e^x+\cfrac{1}{x}+2x\)，

则\(x>0\)时，\(m'(x)>0\)恒成立，故\(m(x)\)单调递增，

但是我们不能求解\(m(0)\)或者\(m(+\infty)\)，故此思路失效，此时尝试观察法，

当\(x=1\)时，\(h'(x)=0\)，

【纯粹的数学素养，当出现\(lnx\)时用\(x=1\)尝试，常常我们就能得到需要的分界点】

当\(0< x <1\)时，\(h'(x) <0\)，

当\(x >1\)时，\(h'(x) >0\)，

故\(h(x)\)在\((0，1)\)上单调递减，在\((1，+\infty)\)上单调递增，

故\(h(x)_{min}=h(1)=e+1\)，

故\(a\leq e+1\)。

解后反思：

1、第二问求二阶导的目的是为了求一阶导数的正负，往往通过给定区间的端点值来求解，

如果端点值不能用，则求二阶导数就失去了其价值，需要从新考虑思路。

例22 【2018宝鸡市三检文科第22题】(坐标系与参数方程)已知圆锥曲线\(C：\begin{cases}x=2cos\alpha\\y=\sqrt{3}cos\alpha\end{cases}(\alpha为参数)\)和定点\(A(0，\sqrt{3})\)，\(F_1，F_2\)是此圆锥曲线的左右焦点，以原点为极点，以\(x\)轴正半轴为极轴建立极坐标系。

(1)求直线\(AF_2\)的直角坐标方程；

(2)经过点\(F_1\)且与直线\(AF_2\)垂直的直线\(l\)交此圆锥曲线于\(M，N\)两点，求\(||MF_1|-|NF_1||\)的值。

分析：(1)消参数得到曲线\(C\)的直角坐标方程为\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1\)；

由于\(A(0，\sqrt{3})\)，\(F_2( 1，0)\)，故直线方程为\(\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}=0\)。

此时直线的斜率为\(k_0=-\sqrt{3}\)；

(2)由上可知，直线\(l\)的斜率为\(k_1=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，即倾斜角为\(\alpha=\cfrac{\pi}{6}\)，

又点\(F_1(-1，0)\)，故直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases}x=x_0+cos\alpha\cdot t\\y=y_0+sin\alpha \cdot t \end{cases}(t为参数)\)

即\(\begin{cases}x=-1+\cfrac{\sqrt{3}}{2} t\\y=0+\cfrac{1}{2} t \end{cases}(t为参数)\)

将其代入曲线\(C\)的直角坐标方程\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1\)；

整理为\(13t^2-12\sqrt{3}t-36=0\)，

容易证明\(\Delta >0\)，令\(M，N\)分别对应的参数为\(t_1，t_2\)，

则有\(t_1+t_2=\cfrac{12\sqrt{3}}{13}>0\)，\(t_1t_2=-\cfrac{36}{13}<0\)；

则\(t_1，t_2\)异号，\(t_1>0，t_2<0\)或\(t_1<0，t_2>0\)

则\(|MF_1|-|NF_1|=-t_1-t_2\)，或者 \(|MF_1|-|NF_1|=t_1+t_2\)

则\(||MF_1|-|NF_1||=|t_1+t_2|=\cfrac{12\sqrt{3}}{13}\)。

解后反思：

1、有学生注意到\(\cfrac{y-0}{x+1}=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，引入参数\(m\)，

得到直线\(l\)的参数方程为\(\begin{cases}x=-1+3m\\y=0+\sqrt{3}m \end{cases}(m为参数)\)

这个也是直线\(l\)的参数方程，不过不是直线的参数方程的标准形式，也就是说\(m\)和\(t\)的含义不一样。

2、我们可以将这个非标准形式的参数方程转化为标准形式的参数方程。如下转化：

\(\begin{cases}x=-1+3m=-1+\cfrac{3}{\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}}\cdot \sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}\cdot m \\y=0+\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}}\cdot\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}\cdot m \end{cases}(m为参数)\)

即\(\begin{cases}x=-1+\cfrac{3}{2\sqrt{3}}\cdot 2\sqrt{3}\cdot m \\y=\cfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\cdot 2\sqrt{3}\cdot m \end{cases}(m为参数)\)

\(\begin{cases}x=-1+\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot m \\y=\cfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot m \end{cases}(m为参数)\)

此时令\(2\sqrt{3}m=t\)，则上述参数方程变形为

即\(\begin{cases}x=-1+\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot t\\y=\cfrac{1}{2}\cdot t \end{cases}(t为参数)\)