2018年寶雞市三檢文科數學題目解答

選擇題：

例2 【2018寶雞市三檢文科第2題】(復數的模的計算)設\(i\)是虛數單位，\(\bar{z}\)是復數\(z\)的共軛復數，若\((1+i)\cdot \bar{z}=2\)，則\(|z|=\)【】

$A.1$ $B.\sqrt{2}$ $C.2$ $D.2\sqrt{2}$

法1：設\(z=a+bi(a，b \in R)\)，則\(\bar{z}=a-bi\)，代入已知得到\((1+i)(a-bi)=1\)

整理得到，\((a+b)+(a-b)i=2\)，則有\(a+b=2\)，\(a-b=0\)，故\(a=b=1\)，

即\(z=1+i\)，則\(|z|=\sqrt{2}\)，選\(B\)；

法2：利用復數的模的性質，由已知可得，\(|(1+i)\cdot \bar{z}|=|2|\)，

即\(|(1+i)||\bar{z}|=2\)，即\(\sqrt{2}|\bar{z}|=2\)，則\(|\bar{z}|=\sqrt{2}\)，

又\(|\bar{z}|=|z|=2\)，故選B。

例2 【2018寶雞市三檢文科第3題】(判斷函數的奇偶性或對稱性)函數\(f(x)=\cfrac{4^x+1}{2^x}\)的圖像【】

$A.關於原點對稱$

$B.關於x軸對稱$

$C.關於$y$軸對稱$

$D.關於直線y=x軸對稱$

分析：注意到\(f(x)=\cfrac{4^x+1}{2^x}=\cfrac{(2^x)^2+1}{2^x}=2^x+\cfrac{1}{2^x}=2^x+2^{-x}\)，

則\(f(-x)=2^{-x}+2^{-(-x)}=2^x+2^{-x}=f(x)\)，故函數\(f(x)\)為偶函數，故選\(C\)。

解后反思： 1、積累常見函數的奇偶性很重要，比如\(f(x)=e^x+e^{-x}\)為偶函數，\(f(x)=e^{|x|}\)為偶函數，\(f(x)=e^x-e^{-x}\)為奇函數，等等。

例7 【2018寶雞市三檢文科第7題】(程序框圖+解對數不等式組)執行如圖所示的程序框圖，若輸出\(i\)的值是5，則輸入的\(t\)的取值范圍是【】

$A.(-\infty，27)$ $B.(3，27)$ $C.[3，27)$ $D.[27，54)$

分析：第一次循環，當\(i=1\)時，不能退出循環，由於是將\(log_3t\)賦值給了\(t\)，故下一步判斷應為\(log_3t\ge 0\)，而不是\(t\ge 0\)，此時\(i=3\)

第二次循環，當\(i=3\)時，也不能退出循環，同上，應有\(log_3(log_3t)\ge 0\)，此時\(i=5\)

第三次循環，當\(i=5\)時，應該退出循環，同上，應有\(log_3[log_3(log_3t)]< 0\)，此時輸出\(i=5\)

故要求得\(t\)的范圍，必須滿足如下的不等式組，

\(\begin{cases}log_3t\ge 0\\log_3(log_3t)\ge 0\\log_3[log_3(log_3t)]< 0\end{cases}\)

求解\(log_3t\ge 0=log_31\)得到\(t\ge 1①\)；

求解\(log_3(log_3t)\ge 0=log_31\)得到\(t\ge 3②\)；

求解\(log_3[log_3(log_3t)]< 0=log_31\)得到\(3 < t <27③\)；

求交集得到\(3 < t < 27\)，故選B。

解后反思：1、 熟練掌握對數不等式組的解法。每解決一個對數不等式，都需要從單調性和定義域兩個角度來限制，比如求解不等式\(log_3[log_3(log_3t)]< 0\)，從定義域的角度來限制，必須滿足每一個真數都大於零，即\(\begin{cases}t>0\\log_3t>0\\log_3(log_3t)>0\end{cases}\)，即\(\begin{cases}t>0\\log_3t>0=log_31\\log_3(log_3t)>log_31\end{cases}\)，即\(\begin{cases}t>0\\t>1\\log_3t>1\end{cases}\)，
即\(\begin{cases}t>0\\t>1\\t>3\end{cases}\)，故從定義域的角度得到\(t>3\)，從單調性的角度來限制，需要先將常數對數化，目的是為了利用單調性，將真數位置的整體降到一般位置，即先變形為\(log_3[log_3(log_3t)]< log_31\)，則由單調性得到\(log_3(log_3t)]<1\)，即\(log_3(log_3t)]<1=log_33\)，即\(log_3t<3=log_327\)，即從單調性角度得到，\(t<27\)，綜上，不等式\(log_3[log_3(log_3t)]< 0\)的解集為\(3 < t < 27\)。

例12 【2018寶雞市三檢文科第12題】(特殊方法求解析式)已知函數\(f(x)\)在定義域\((0，+\infty)\)上是單調函數，若對於任意\(x\in(0，+\infty)\)都有\(f(f(x)-\cfrac{1}{x})=2\)，則函數\(f(x)\)的解析式為【】

$A.f(x)=x$ $B.f(x)=\cfrac{1}{x}$ $C.f(x)=x+1$ $D.f(x)=\cfrac{1}{x}$

分析：令自變量位置的整體\(f(x)-\cfrac{1}{x}=t\)，則\(f(x)=t+\cfrac{1}{x}\)，且有\(f(t)=2\)；

又令\(f(x)=t+\cfrac{1}{x}\)中的\(x=t\)，得到\(f(t)=t+\cfrac{1}{t}\)，結合\(f(t)=2\)，

得到\(t+\cfrac{1}{t}=2\)，又定義域是\((0，+\infty)\)，解得\(t=1\)，

故代入\(f(x)=t+\cfrac{1}{x}\)得到解析式為\(f(x)=\cfrac{1}{x}+1\)。

解后反思：1、本題目考查了復合函數，整體思想，賦值法等數學知識，綜合程度比較高。

2、求函數的解析式中的特殊方法

填空題：

例13 【2018寶雞市三檢文科第13題】(由線性回歸方程求某個缺省值)某車間為了規定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了5次實驗，根據收集到的數據(如表格所示)，由最小二乘法球的回歸方程\(\hat{y}=0.67x+54.9\)，現發現表中有一個數據看不清，請你推斷該數據的值為___________

分析：由於數據中心點\((\bar{x}，\bar{y})\)必然在回歸直線上，故先求得\(\bar{x}=30\)，

代入回歸直線方程得到，\(\bar{y}=0.67\times 30+54.9=75\)，

在計算數據是采用簡單的算法，取參考值為75，設缺省值為\(m\)

則有\(75=75+\cfrac{-13+(m-75)+0+6+14}{5}\)，解得\(m=68\)。

解后反思：

1、 數據中心點\((\bar{x}，\bar{y})\)必然在回歸直線上，

2、注意算法的簡潔性，省時省力。

例16 【2018寶雞市三檢文科第16題】(求數列的通項公式或求數列的某一項的值)設數列\(\{a_n\}\)的前\(n\)項和為\(S_n\)，且\(a_1=1\)，\(a_{n+1}=2S_n+3\)，則\(S_4=\)___________

法1：先求得通項，再求值，\(S_{n+1}-S_n=2S_n+3\)，

即\(S_{n+1}=3S_n+3\)，兩邊同加\(\cfrac{3}{2}\)，得到

\(S_{n+1}+\cfrac{3}{2}=3S_n+3+\cfrac{3}{2}\)，即\(S_{n+1}+\cfrac{3}{2}=3S_n+\cfrac{9}{2}\)，

\(S_{n+1}+\cfrac{3}{2}=3(S_n+\cfrac{3}{2})\)，又\(S_1+\cfrac{3}{2}=\cfrac{5}{2}\neq 0\)，

故數列\(\{S_n+\cfrac{3}{2}\}\)是首項為\(\cfrac{5}{2}\)，公比為\(3\)的等比數列，

則\(S_4+\cfrac{3}{2}=\cfrac{5}{2}\cdot 3^{4-1}\)，

從而計算得到\(S_4=66\)，很麻煩。

如果題目是求解\(S_{400}\)，那么法1就起了大作用，法2就失效了。

法2：由於所求為\(S_4\)，下標很小，所以我們常常利用\(a_{n+1}=2S_n+3\)遞推計算，

\(a_1=1\)，代入\(a_{n+1}=2S_n+3\)，則\(a_2=2a_1+3=5\)，

則\(a_3=2(a_1+a_2)+3=15\)，\(a_4=2(a_1+a_2+a_3)+3=45\)，

故\(S_4=a_1+a_2+a_3+a_4=1+5+15+45=66\)。

解答題：

例17 【2018寶雞市三檢文科第17題】(三角函數和解三角形)已知向量\(\vec{a}=(2sinx，\sqrt{3}cosx)\)，\(\vec{b}=(-sinx，2sinx)\)，\(f(x)=\vec{a}\cdot \vec{b}\)，

(1)求\(f(x)\)的單調遞增區間；

(2)在\(\Delta ABC\)中，\(a、b、c\)分別是角\(A、B、C\)的對邊且\(f(C)=1\)，\(c=1\)，\(ab=2\sqrt{3}\)，\(a>b\)，求\(a、b\)的值。

分析：(1)\(f(x)=\vec{a}\cdot\vec{b}=2sinx\cdot (-sinx)+\sqrt{3}cosx\cdot 2sinx\)，

\(=\sqrt{3}sin2x+cos2x-1=2sin(2x+\cfrac{\pi}{6})-1\)；

令\(-\cfrac{\pi}{2}+2k\pi \leq 2x+\cfrac{\pi}{6}\leq \cfrac{\pi}{2}+2k\pi\)

得到\(-\cfrac{\pi}{3}+k\pi \leq x\leq \cfrac{\pi}{6}+k\pi\)

故\(f(x)\)的單調遞增區間為\([-\cfrac{\pi}{3}+k\pi，\cfrac{\pi}{6}+k\pi](k\in Z)\)

(2)由\(f(C)=1\)，即\(2sin(2C+\cfrac{\pi}{6})-1=1\)，即\(sin(2C+\cfrac{\pi}{6})=1\)，

則有\(2C+\cfrac{\pi}{6}=\cfrac{\pi}{2}\)，故\(C=\cfrac{\pi}{6}\)；

又\(c=1\)，\(ab=2\sqrt{3}\)，由余弦定理得到

\(c^2=1=a^2+b^2-2abcos\cfrac{\pi}{6}\)，

即\(a^2+b^2=7\)，聯立\(ab=2\sqrt{3}\)，

解得\(a=2，b=\sqrt{3}\)或\(a=2，b=\sqrt{3}\)，

由於\(a>b\)，故\(a=2，b=\sqrt{3}\)。

例19 【2018寶雞市三檢文科第19題】(概率與統計)某中學高三文科班學生參加了數學與英語水平測試，學校從測試合格的學生中隨機抽取了100人的成績進行統計分析，抽取的100人的數學與英語水平測試的成績如表，成績分為優秀、良好、及格三個等級，橫向、縱向分別表示英語成績與數學成績，例如：表格中數學成績為良好的共有\(20+18+4=42\)人。

(1)若該樣本中，數學成績的優秀率為\(30%\)，求\(a、b\)的值。

(2)若樣本中\(a\ge 10\)，\(b\ge 8\)，求在英語成績及格的學生中，數學成績優秀的人數比及格的人數少的概率。

分析(1)由題可知，\(\cfrac{7+9+a}{100}=30%\)，解得\(a=14\)，故\(b=100-(7+20+5+9+18+6+a+4)=17\)；

(2)首先明確，第二問與第一問已經沒有關系了。

“在英語成績及格的學生中”，指的是\(a+b+4=35\)人，即\(a+b=31\)人，

"數學成績優秀的人數"指的是\(a\)，"數學成績及格的人數"指的是\(b\)，

即需要滿足\(a < b\)，同時需滿足\(a\ge 10\)，\(b\ge 8\)，以及\(a，b\in N^*\)，

故由\(a、b\)組成的所有情況用坐標形式\((a，b)\)表達，則共有

\((10，21)\)，\((11，20)\)，\((12，19)\)，\((13，18)\)，

\((14，17)\)，\((15，16)\)，\((16，15)\)，\((17，14)\)，\((18，13)\)，\((19，12)\)，

\((20，11)\)，\((21，10)\)，\((22，9)\)，\((23，8)\)共有\(14\)種情形，其中滿足\(a < b\)的有

\((10，21)\)，\((11，20)\)，\((12，19)\)，\((13，18)\)，\((14，17)\)，\((15，16)\)，

設“數學成績優秀的人數比及格的人數少”為事件\(B\)，則\(P(B)=\cfrac{6}{14}=\cfrac{3}{7}\)。

例21 【2018寶雞市三檢文科第21題】(函數與導數)已知函數\(f(x)=\cfrac{x^2+ax+1}{x}(x>0，a\in R)\)。

(1)當\(a\leq -2\)時，討論函數\(f(x)\)的零點個數。

(2)若函數\(g(x)=e^x-lnx+2x^2+1\)，對任意\(x\in(0，+\infty)\)，總有\(xf(x)\leq g(x)\)成立，求實數\(a\)的最大值。

分析：(1)法1：\(f(x)=x+\cfrac{1}{x}+a\)，由於求函數的零點的個數，

故令\(f(x)=0\)，即\(-a=x+\cfrac{1}{x}\)，

或者令\(f(x)=0\)，即\(x^2+ax+1=0\)，即\(-ax=x^2+1\)

分離參數得到，\(-a=x+\cfrac{1}{x}\)，

至此，做函數\(y=x+\cfrac{1}{x}\)和函數\(y=-a\)的圖像，

由圖像可以看出，當\(a=-2\)時，兩個函數的圖像有一個交點，即原函數有一個零點；

當\(a<-2\)時，兩個函數的圖像有兩個交點，即原函數有兩個零點；

(2)由題目可知，\(x^2+ax+1\leq e^x-lnx+2x^2+1\)對任意\(x>0\)恆成立，

變形得到\(ax\leq e^x-lnx+x^2\)，

分離參數得到\(a\leq \cfrac{e^x-lnx+x^2}{x}\)對任意\(x>0\)恆成立，

故令\(h(x)=\cfrac{e^x-lnx+x^2}{x}\)，需要求出\(h(x)_{min}\)，

\(h'(x)=\cfrac{(e^x-\cfrac{1}{x}+2x)\cdot x-(e^x-lnx-x^2)\cdot 1}{x^2}\)

\(=\cfrac{e^x(x-1)+lnx-1+x^2}{x^2}\)

令\(m(x)=e^x(x-1)+lnx-1+x^2\)，

\(m'(x)=e^x(x-1)+e^x+\cfrac{1}{x}+2x=e^x+\cfrac{1}{x}+2x\)，

則\(x>0\)時，\(m'(x)>0\)恆成立，故\(m(x)\)單調遞增，

但是我們不能求解\(m(0)\)或者\(m(+\infty)\)，故此思路失效，此時嘗試觀察法，

當\(x=1\)時，\(h'(x)=0\)，

【純粹的數學素養，當出現\(lnx\)時用\(x=1\)嘗試，常常我們就能得到需要的分界點】

當\(0< x <1\)時，\(h'(x) <0\)，

當\(x >1\)時，\(h'(x) >0\)，

故\(h(x)\)在\((0，1)\)上單調遞減，在\((1，+\infty)\)上單調遞增，

故\(h(x)_{min}=h(1)=e+1\)，

故\(a\leq e+1\)。

解后反思：

1、第二問求二階導的目的是為了求一階導數的正負，往往通過給定區間的端點值來求解，

如果端點值不能用，則求二階導數就失去了其價值，需要從新考慮思路。

例22 【2018寶雞市三檢文科第22題】(坐標系與參數方程)已知圓錐曲線\(C：\begin{cases}x=2cos\alpha\\y=\sqrt{3}cos\alpha\end{cases}(\alpha為參數)\)和定點\(A(0，\sqrt{3})\)，\(F_1，F_2\)是此圓錐曲線的左右焦點，以原點為極點，以\(x\)軸正半軸為極軸建立極坐標系。

(1)求直線\(AF_2\)的直角坐標方程；

(2)經過點\(F_1\)且與直線\(AF_2\)垂直的直線\(l\)交此圓錐曲線於\(M，N\)兩點，求\(||MF_1|-|NF_1||\)的值。

分析：(1)消參數得到曲線\(C\)的直角坐標方程為\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1\)；

由於\(A(0，\sqrt{3})\)，\(F_2( 1，0)\)，故直線方程為\(\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}=0\)。

此時直線的斜率為\(k_0=-\sqrt{3}\)；

(2)由上可知，直線\(l\)的斜率為\(k_1=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，即傾斜角為\(\alpha=\cfrac{\pi}{6}\)，

又點\(F_1(-1，0)\)，故直線\(l\)的參數方程為\(\begin{cases}x=x_0+cos\alpha\cdot t\\y=y_0+sin\alpha \cdot t \end{cases}(t為參數)\)

即\(\begin{cases}x=-1+\cfrac{\sqrt{3}}{2} t\\y=0+\cfrac{1}{2} t \end{cases}(t為參數)\)

將其代入曲線\(C\)的直角坐標方程\(\cfrac{x^2}{4}+\cfrac{y^2}{3}=1\)；

整理為\(13t^2-12\sqrt{3}t-36=0\)，

容易證明\(\Delta >0\)，令\(M，N\)分別對應的參數為\(t_1，t_2\)，

則有\(t_1+t_2=\cfrac{12\sqrt{3}}{13}>0\)，\(t_1t_2=-\cfrac{36}{13}<0\)；

則\(t_1，t_2\)異號，\(t_1>0，t_2<0\)或\(t_1<0，t_2>0\)

則\(|MF_1|-|NF_1|=-t_1-t_2\)，或者 \(|MF_1|-|NF_1|=t_1+t_2\)

則\(||MF_1|-|NF_1||=|t_1+t_2|=\cfrac{12\sqrt{3}}{13}\)。

解后反思：

1、有學生注意到\(\cfrac{y-0}{x+1}=\cfrac{\sqrt{3}}{3}\)，引入參數\(m\)，

得到直線\(l\)的參數方程為\(\begin{cases}x=-1+3m\\y=0+\sqrt{3}m \end{cases}(m為參數)\)

這個也是直線\(l\)的參數方程，不過不是直線的參數方程的標准形式，也就是說\(m\)和\(t\)的含義不一樣。

2、我們可以將這個非標准形式的參數方程轉化為標准形式的參數方程。如下轉化：

\(\begin{cases}x=-1+3m=-1+\cfrac{3}{\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}}\cdot \sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}\cdot m \\y=0+\cfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}}\cdot\sqrt{3^2+(\sqrt{3})^2}\cdot m \end{cases}(m為參數)\)

即\(\begin{cases}x=-1+\cfrac{3}{2\sqrt{3}}\cdot 2\sqrt{3}\cdot m \\y=\cfrac{\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}\cdot 2\sqrt{3}\cdot m \end{cases}(m為參數)\)

\(\begin{cases}x=-1+\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot m \\y=\cfrac{1}{2}\cdot 2\sqrt{3}\cdot m \end{cases}(m為參數)\)

此時令\(2\sqrt{3}m=t\)，則上述參數方程變形為

即\(\begin{cases}x=-1+\cfrac{\sqrt{3}}{2}\cdot t\\y=\cfrac{1}{2}\cdot t \end{cases}(t為參數)\)