一（30分）.1.計算極限$$\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=n^2}^{(n+1)^2}\frac1{\sqrt k}.$$
2.計算極限$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\int_0^\mathrm\pi\sin^nx\cos^6x\operatorname dx}{\int_0^\mathrm\pi\sin^nx\operatorname dx}$$
3.已知$x_{n+1}=\ln\left(1+x_n\right)$,且$x_1>0$,計算$$\lim_{n\rightarrow\infty}nx_n$$
二.設$f(x),f_1(x)$在$[a,b]$區間上連續，$f_{n+1}(x)=f(x)+\int_a^x\sin\{f_n(t)\}\operatorname dt$,證明：$\{f_n\}$在$[a,b]$一致收斂.
三.設$$f(x)=\left\{\begin{array}{lc}e^{-\frac1{x^2}}&,\;x\neq0\\0&,\;x=0\end{array}\right.$$證明$f(x)$在$x=0$處任意階導數存在.
四.已知$(x_1,x_2,x_3)\in{R}^3$,其中$u=\frac1{\left|x\right|},\left|x\right|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$，計算
$$\oint\limits_S\frac{\partial^2 u}{\partial x_i\partial x_j}{\rm d}S，i，j=1,2,3$$,其中$S:x_1^2+x_2^2+x_3^2=R^2$
五.討論求解方程$f(x)$牛頓切線法.1.推導牛頓切線法迭代公式；
2.在適當的條件下，證明牛頓切線法收斂
六（20分）.求極限$$\lim_{n\rightarrow\infty}(nA-\sum_{k=1}^nf(\frac kn))=B$$存在時，$A,B$的值。
七.設$u_i=u_i(x_1,x_2),i=1,2$,且關於每個變量為周期1的連續可微函數，求$$\iint\limits_{0\leq x_1,x_2\leq1}det(\delta_{ij}+\frac{\partial u_i}{\partial x_j})dx_1dx_2,$$其中$det(\delta_{ij}+\frac{\partial u_i}{\partial x_j})$是映射$x\mapsto(x_1+u_1,x_2+u_2)$的雅克比行列式.
八（40分）.設$f(x)$在$[a,b]$上$Riemann$可積，$\varphi(x)$是周期為$T$的連續函數,證明：
1.存在階梯函數$g_\varepsilon(x)$使得$$\int_a^b\left|f(x)-g_\varepsilon(x)\right|\operatorname dx<\frac\varepsilon2$$
2.計算$$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^b\varphi(nx)\operatorname dx$$
3.證明$$\lim_{n\rightarrow\infty}\int_a^bf(x)\varphi(nx)\operatorname dx=\frac1T\int_0^T\varphi(x)\operatorname dx\int_a^bf(x)\operatorname dx$$
4.計算$$\lim_{n\rightarrow\infty}\frac1{\ln n}\int_0^T\frac{\varphi(nx)}xdx,其中函數\frac{\varphi(nx)}x收斂$$
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