頻譜反應的是信號的幅度和相位隨頻率的分布情況，它描述了信號的頻域特征。同時，也可以用功率譜和能量譜來描述信號的頻域特性。一般來說，周期信號和隨機信號是功率信號，而非周期的確定信號是能量信號。
注：隨機信號只能用功率譜來描述它的頻率特性。由於，無法用確定的時間函數表示，也就無法得到信號是頻譜。
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能量信號
一個信號的能量是有限的，即 $\int^\infty_{-\infty }f(t)^2dt<∞$ ，則稱這個信號為能量信號。
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功率信號
若一個信號不滿足能量有限，但其功率 $$ P= \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}|f(t)|^2dt<∞ $$，則稱這個信號為功率信號。例如，周期信號。可見，能量有限的信號功率為0，而功率有限的信號能量為無窮大。
注：還有一類信號其功率和能量都是無限的，如 f(t) = t，這類信號很少會用到。
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Parseval 定理
時頻域能量相等，就是說函數平方的和（或積分）等於其傅里葉轉換式平方之和（或者積分）。
$$\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^2d\omega \\ \sum_{n=0}^{N-1}|x(n)|^2 = \frac{1}{N}\sum_{k=0}^{N-1}|X(k)|^2 $$
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能量譜（能量譜密度）
對於能量信號，常用能量譜來描述。所謂的能量譜，也稱為能量譜密度，是指用密度的概念表示信號能量在各頻率點的分布情況。也即是說，對能量譜在頻域上積分就可以得到信號的能量。能量譜是信號幅度譜的模的平方，其量綱是焦/赫。$$ E(\omega) = |F(\omega)|^2 \\ E = \int_{-\infty}^{+\infty}|f(t)|^2dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}E(\omega)d\omega = \int_{-\infty}^{\infty}E(f)df $$
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功率譜（功率譜密度）
對於功率信號，常用功率譜來描述。所謂的功率譜，也稱為功率譜密度，是指用密度的概念表示信號功率在各頻率點的分布情況。也就是說，對功率譜在頻域上積分就可以得到信號的功率。$$ P(\omega) = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{T}|F_T(\omega)|^2 $$ 式中$F_T(\omega)$為$f(t)$的截短函數 $f_T(t)$的傅里葉變換。 $$ P= \lim_{T\to\infty} \frac{1}{T}\int_{-T/2}^{T/2}|f(t)|^2dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}P(\omega)d\omega = \int_{-\infty}^{\infty}P(f)df $$
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Winner-Khintchine theorem（維納-辛欽定理）
寬平穩隨機過程的功率譜密度是其自相關函數的傅立葉變換。
對於平穩隨機信號 $ \{ X(t) \} $ $$ P_X(w)=\int_{-\infty}^{\infty}R_X(\tau) e^{-jw\tau}d\tau \\ R_X(\tau) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}P_X(w)e^{jw\tau}dw $$
隨機過程的平穩性分為嚴格平穩和廣義平穩（寬平穩）。
嚴格平穩：所謂隨機過程嚴格平穩，是指它的任何n維分布函數或概率密度函數與時間起點無關。
廣義平穩（寬平穩）：若一個隨機過程的數學期望及方差與時間無關，相關函數僅與時間間隔有關，則稱這個隨機過程為廣義平穩隨機過程。
注：一個寬平穩過程不一定是嚴平穩過程，一個嚴平穩過程也不一定寬平穩過程。
正態過程是一個重要特例，一個寬平穩的正態過程必定是嚴平穩的。
互相關函數： $ R_{XY}(t_1,t_2) = E\ [ X(t_1)Y(t_1)\ ] $
自相關函數：$ R_X(t_1,t_1+\tau)=E\ [ X(t_1)X(t_2)\ ] $ ， 若寬平穩過程有，$R(t_1,t_1+\tau)=R(\tau)$
能量信號的自相關函數：$$ R(\tau)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)f(t+\tau)dt $$
功率信號的自相關函數：$$ R(\tau)=\lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_{-T/2}^{T/2}f(t)f(t+\tau)dt $$
自相關函數的特性：
(1) 偶函數 $R(\tau)=R(-\tau)$
(2) $R(0) \geqslant |R(\tau)| $
(3) $R(0)$表示能量信號的能量或功率信號的功率，即 $ R(0) = E \ \ ; \ \ R(0) = P $
因為功率信號不滿足傅里葉變換的條件，其頻譜通常不存在，維納-辛欽定理證明了自相關函數和傅里葉變換之間對應關系。在工程實際中，即便是功率信號，由於持續的時間有限，可以直接對信號進行傅里葉變換，然后對得到的幅度譜的模求平方，再除以持續時間來估計信號的功率譜。
小插曲
