信號的頻譜、幅度譜、相位譜及能量譜密度、功率譜密度

信號的頻譜、幅度譜、相位譜及能量譜密度、功率譜密度

摘錄別人的，因為原始博客公式看不了。下面是原地址。
https://www.cnblogs.com/iliveido/archive/2013/03/22/2976542.html

​ 傅里葉變換一個令人震驚的事實是：Gaussian分布的密度函數 \(e^{-x^2/2}\) 是唯一的一個傅里葉變換不變函數。

​ 泛函分析中，Gaussian密度函數的極限（\(\sigma\to\infty\)）是delta-dirac函數 \(\delta(x)\)，即脈沖函數。

​ 更簡單地，在大學一年級的數學分析課程中，Gaussian密度函數的積分是 \(\sqrt{\pi}\)。

​ 信號經過傅里葉變換之后產生頻譜，頻譜是一個以頻率為自變量的函數。頻譜在每一個頻率點的取值是一個復數。一個復數由模和輻角唯一地確定，即：

\[z = r(cos\theta + isin\theta) \]

所以可將頻譜分解為幅度譜（即復數的模關於頻率的函數）和相位譜（即復數的輻角關於頻率的函數）。

​ 那什么是能量譜密度（energy spectral density）和功率譜密度（power spectral density）？

​ 在英語中，幅度有兩個詞：amplitude和magnitude，在大多數情況下（包括本文），它們是沒有區別的，除了在某個特定的領域（如物理領域），amplitude代表整個信號偏離x軸的最大絕對值，magnitude代表信號上某一點偏離x軸的絕對值。更清晰的闡述如下：

​ peak amplitude, often shortened to amplitude, is the nonnegative value of the waveform's peak (either positive or negative).

​ instantaneous amplitude of x is the value of x(t) (either positive or negative) at time t.

​ instantaneous magnitude, or simply magnitude, of x is nonnegative and is given by |x(t)|.

​ 可見，amplitude是一個全局概念，而magnitude是一個瞬時概念。

​ 在談及FFT和wavelets的大多數情況下，將amplitude和magnitude認為是同一概念，即瞬時幅度。

​ 信號\(f(t)\)在\(t\)處的瞬時幅度是\(f(t)\)的模，即\(|f(t)|\)；

​ 信號\(f(t)\)在\(t\)處的瞬時相位是\(f(t)\)的輻角，即\(Arg f(t)\) 或者 \(\angle f(t)\)；

​ 信號\(f(t)\)在\(t\)處的瞬時功率是\(f(t)\)的模的平方，即\(|f(t)|^2\)。

​ 信號的能量是一個全局概念，是瞬時功率的積分值，即

\[||f(t)||^2=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2 dt \]

注意\(|f(t)|\)和\(||f(t)||\)的區別，前者是瞬時概念，即信號在某一點的瞬時幅度，后者是全局概念，即整個信號的能量的開方。

​ 需要注意的是，通常所指的能量譜和能量譜密度是一個概念；功率譜和功率譜密度是一個概念，而且功率是指平均功率。

​ 時域上的能量公式：

\[E(f)=\int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^2 dt \]

其中絕對值號代表取模，當信號是實信號時，顯然絕對值號可以去掉，變成

\[E(f)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)^2 dt \]

​ 根據Parseval能量恆等式（Parseval’s Identity），能量也可認為是\(f(t)\)的傅里葉變換的模的平方在頻域上的積分。

​ 頻域上的能量公式：

\[E(f)=\int_{-\infty}^{\infty}|\hat{f}(\omega)|^2 d\omega \]

​ 從上述積分可以看出，信號的能量譜密度在某個頻率點上的取值就是信號在某個頻率上的瞬時功率\(|\hat{f}(\omega)|^2\)。

​ 從上面的公式可以看出，信號的能量可能是無窮。當信號的能量無限時，只能通過平均功率來了解該信號。因為能量\(E(f)\)和時間長度\(\triangle T\)之比就是平均功率\(P(f)\)，即：

\[P(f)=\frac{E(f)}{\triangle T} \]

​ 易知：當信號在\(t \in (-\infty,\infty)\)的平均功率有限時，能量是無限的；當信號在\(t \in (-\infty,\infty)\)的能量有限時，其平均功率為0。能量有限的信號稱為能量信號；平均功率有限的信號稱為功率信號。

​ 為方便敘述，記

\[f_{T}(t)=\left\{\begin{array}{lll} f(t)& , & |t|\leq T\\ 0&,&|t|>T\end{array}\right. \]

從而平均功率的公式為：

\[P(f)=\lim_{T\to\infty}\frac{\int_{-T}^{T}|f_{T}(t)|^2 dt}{2T}=\lim_{T\to\infty}\frac{\int_{-T}^{T}|\hat{f_{T}}(\omega)|^2d\omega}{2T} \]

​ 從上述的積分可以看出，信號的功率譜密度為：

\[PSD(f) = \lim_{T\to\infty}\frac{|\hat{f_{T}}(\omega)|^2}{2T} \]

​ 對於比信號更復雜的隨機過程\(X(t)\)來說，\(P(f)\)是一個隨機變量，所以其平均功率\(P\)必須取加權平均\(E\)（注意這里的\(E\)不是能量）：

\[P=E[P(f)]=E[\lim_{T\to\infty}\frac{\int_{-T}^{T}|\hat{f_{T}}(\omega)|^2d\omega}{2T}]=\lim_{T\to\infty}\frac{\int_{-T}^{T}E[|\hat{f_{T}}(\omega)|^2]d\omega}{2T} \]

​ 其功率譜密度為：

\[PSD = \lim_{T\to\infty}\frac{E[|\hat{f_{T}}(\omega)|^2]}{2T} \]