應用隨機過程08：功率譜密度

目錄

• 第八講 功率譜密度
  • 一、功率譜密度的定義
    • Part 1：傅里葉變換
    • Part 2：確定性信號的功率譜密度
    • Part 3：平穩過程的功率譜密度
  • 二、功率譜密度的性質
    • Part 1：維納-辛欽公式
    • Part 2：\(\delta\) 函數
    • Part 3：白噪聲

第八講 功率譜密度

一、功率譜密度的定義

Part 1：傅里葉變換

之前我們對於平穩過程的研究，主要討論了其自相關函數在時域上的性質。而這一節我們主要介紹平穩過程的自相關函數在頻域上的等價描述，兩者之間的聯系就是傅里葉變換。首先了解一些概念。

設信號 \(x(t)\) 是時間的函數，\(t\in\mathbb{R}\) ，滿足狄利克雷條件，且 \(\displaystyle\int_{-\infty}^\infty|x(t)|{\rm d}t<\infty\) ，則稱 \(x(t)\) 的傅里葉變換存在或稱 \(x(t)\) 具有頻譜。

狄利克雷條件括三方面：

1. 在一周期內，連續或只有有限個第一類間斷點；
2. 在一周期內，極大值和極小值的數目應是有限個；
3. 在一周期內，信號是絕對可積的

定義傅里葉變換為

\[F_x(\omega)=\int_{-\infty}^\infty x(t)e^{-i\omega t} {\rm d}t \ , \quad -\infty<\omega<\infty \ . \]

定義傅里葉逆變換為

\[x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{i\omega t}F_x(\omega){\rm d}\omega \ , \quad -\infty<t<\infty \ . \]

其中 \(\omega\) 稱為圓頻率，\(F_x(\omega)\) 稱為信號 \(x(t)\) 的頻譜。

信號 \(x(t)\) 與頻譜 \(F_x(\omega)\) 之間有 Parseval 等式成立：

\[\int_{-\infty}^{\infty}x^2(t){\rm d}t=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\left|F_x(\omega)\right|^2{\rm d}\omega \ . \]

這里 \(x^2(t)\) 的含義是信號在 \(t\) 時刻的功率，因此積分 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2(t){\rm d}t\) 含義是信號的總能量。

Parseval 等式表明信號的總能量等於各諧分量能量的疊加。

Part 2：確定性信號的功率譜密度

因為在工程技術中，通常會出現總能量 \(\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}x^2(t){\rm d}t=\infty\) 的情況，而信號的平均功率一般是有限的。所以我們需要改變研究對象，轉向對平均功率的研究，其定義式為

\[\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^Tx^2(t){\rm d}t<\infty \ . \]

為此利用傅里葉變換給出平均功率的譜表達式：

作 \(x(t)\) 的截尾函數：

\[x_T(t)=\left\{\begin{array}{ll} x(t) \ , & |t|\leq T \ , \\ 0 \ , & |t|>T \ . \end{array} \right. \]

記 \(x_T(t)\) 的傅里葉變換為

\[F_x(\omega,T)=\int_{-\infty}^\infty x_T(t)e^{-i\omega t}{\rm d}t=\int_{-T}^Tx(t)e^{-i\omega t}{\rm d}t \ . \]

寫出 \(x_T(t)\) 的 Parseval 等式為

\[\int_{-\infty}^{\infty}x_T^2(t){\rm d}t=\int_{-T}^{T}x^2(t){\rm d}t=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\left|F_x(\omega,T)\right|^2{\rm d}\omega \ . \]

對等式兩邊除以 \(2T\) 再令 \(T\to\infty\) ，可得 \(x(t)\) 在 \((-\infty,\infty)\) 上的平均功率的譜表達式：

\[\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}x_T^2(t){\rm d}t=\lim_{T\to\infty}\frac1{4\pi T}\int_{-\infty}^\infty\left|F_x(\omega,T)\right|^2{\rm d}\omega=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\left|F_x(\omega,T)\right|^2{\rm d}\omega \ . \]

我們將等式右邊中的被積函數定義為

\[S_x(\omega)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\left|F_x(\omega,T)\right|^2 \ . \]

這就是信號 \(x(t)\) 在 \(\omega\) 處的功率譜密度。

Part 3：平穩過程的功率譜密度

我們可以將平穩過程 \(\{X(t):-\infty<t<\infty\}\) 看成一個隨機信號，此時依然有 Parseval 等式：

\[\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X^2(t){\rm d}t=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\left|F_X(\omega,T)\right|^2{\rm d}\omega \ . \]

與確定性信號不同，我們在定義平穩過程的平均功率時，需要將其定義在數學期望的意義下：

\[\lim_{T\to\infty}{\rm E}\left[\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}X^2(t){\rm d}t\right]=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^{T}{\rm E}\left[X^2(t)\right]{\rm d}t=R_X(0) \ , \]

即平穩過程的平均功率等於該過程的二階矩。

在數學期望的意義下，將 Parseval 等式右邊中的被積函數記為

\[S_X(\omega)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}{\rm E}\left[\left|F_X(\omega,T)\right|^2\right] \ ， \]

在頻域中稱之為平穩過程 \(\{X(t)\}\) 在 \(\omega\) 處的功率譜密度。

利用 \(S_X(\omega)\) 及 \(R_X(0)\) 簡化等式得到

\[R_X(0)=\psi_X^2=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty S_X(\omega){\rm d}\omega \ , \]

稱為平穩過程 \(\{X(t)\}\) 的平均功率的譜表達式。

譜密度 \(S_X(\omega)\) 也是描述平穩過程 \(\{X(t)\}\) 的統計性質的重要的數字特征之一。

二、功率譜密度的性質

Part 1：維納-辛欽公式

定理：\(S_X(\omega)\) 是 \(\omega\) 的實函數，並且是非負的偶函數。

我們利用 \(S_X(\omega)\) 和 \(|F_X(\omega,T)|^2\) 的關系來證明這個結論

\[S_X(\omega)=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}{\rm E}\left[\left|F_X(\omega,T)\right|^2\right] \ . \]

首先證明 \(\left|F_X(\omega,T)\right|^2=F_X(\omega,T)F_X(-\omega,T)\) 也是 \(\omega\) 的實函數，並且是非負的偶函數。

因為 \(F_X(\omega,T)\) 是一個復值函數，其共軛為

\[\overline{F_X(\omega,T)}=\overline{\int_{-T}^T X(t)e^{-i\omega t} {\rm d}t}=\int_{-T}^T x(t)e^{i\omega t} {\rm d}t=F_X(-\omega,T) \ , \]

又因為一個復數的模的平方一定是非負實數，且可以表示為該復數與其共軛復數的乘積，所以

\[\left|F_X(\omega,T)\right|^2=F_X(\omega,T)\overline{F_X(\omega,T)}=\left|F_X(\omega,T)\right|^2=F_X(\omega,T)F_X(-\omega,T) \ . \]

從而容易得出 \(|F_X(\omega,T)|^2\) 也是關於 \(\omega\) 的偶函數的結論。

因為 \(S_X(\omega)\) 是 \(|F_X(\omega,T)|^2\) 的均值的極限，所以 \(S_X(\omega)\) 也必是 \(\omega\) 的實函數，並且是非負的偶函數。

定理（維納-辛欽公式）：功率譜密度 \(S_X(\omega)\) 和自相關函數 \(R_X(\tau)\) 是一組傅里葉變換對，

\[\begin{aligned} &S_X(\omega)=\int_{-\infty}^\infty R_X(\tau)e^{-i\omega \tau}{\rm d}\tau \ , \\ &R_X(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty S_X(\omega)e^{i\omega t}{\rm d}\omega \ . \end{aligned} \]

證明：

\[\begin{aligned} S_X(\omega)&=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}{\rm E}\left[\left|F_X(\omega,T)\right|^2\right] \\ &=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}{\rm E}\left[\left|\int_{-T}^T X(t)e^{-i\omega t} {\rm d}t\right|^2\right] \\ &=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}{\rm E}\left[\int_{-T}^T X(t)e^{-i\omega t} {\rm d}t\overline{\int_{-T}^T X(s)e^{-i\omega s} {\rm d}s}\right] \\ &=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}{\rm E}\left[\int_{-T}^T\int_{-T}^T X(t)X(s)e^{-i\omega(t-s)} {\rm d}t {\rm d}s\right] \\ &=\lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^T\int_{-T}^T R_X(t-s)e^{-i\omega(t-s)} {\rm d}t {\rm d}s\\ &\xlongequal[\tau_1=t+s]{\tau=t-s}\lim_{T\to\infty}\int_{-2T}^{2T}\left(1-\frac{|\tau|}{2T}\right) R_X(\tau)e^{-i\omega\tau} {\rm d}\tau\\ \end{aligned} \]

定義

\[R_X(\tau,T)=\left\{\begin{array}{ll} \left(1-\dfrac{|\tau|}{2T}\right) R_X(\tau) \ , & |\tau|\leq 2T \ , \\ 0 \ , & |\tau|>2T \ , \end{array}\right. \]

則有 \(\displaystyle\lim_{T\to\infty}R_X(\tau,T)=R_X(\tau)\) ，於是

\[S_X(\omega)=\lim_{T\to\infty}\int_{-\infty}^\infty R_X(\tau,T)e^{-i\omega\tau} {\rm d}\tau=\int_{-\infty}^\infty\lim_{T\to\infty}R_X(\tau,T)e^{-i\omega\tau} {\rm d}\tau=\int_{-\infty}^\infty R_X(\tau)e^{-i\omega\tau} {\rm d}\tau \ . \]

反之由傅里葉逆變換的定義得證。

推論：由於 \(R_X(\tau)\) 和 \(S_X(\omega)\) 都是實偶函數，所以利用歐拉公式可以將維納-辛欽公式改寫成

\[\begin{aligned} &S_X(\omega)=2\int_{0}^\infty R_X(\tau)\cos\omega\tau{\rm d}\tau \ , \\ &R_X(\tau)=\frac{1}{\pi}\int_{0}^\infty S_X(\omega)\cos\omega\tau{\rm d}\omega \ . \end{aligned} \]

推論：由於 \(R_X(\tau)\) 和 \(S_X(\omega)\) 都是實偶函數，所以

\[\int_{-\infty}^\infty S_X(\omega)e^{-i\omega t}{\rm d}\omega=\int_{-\infty}^\infty S_X(\omega)e^{i\omega t}{\rm d}\omega=2\pi R_X(\tau) \ . \]

即 \(R_X(\tau)\) 的傅里葉變換為 \(S_X(\omega)\) ，\(S_X(\omega)\) 的傅里葉變換為 \(2\pi R_X(\tau)\) 。

維納-辛欽公式也稱為平穩過程自相關函數的譜表達式，它揭示了從時域描述平穩過程 \(\{X(t)\}\) 的統計規律和從頻域描述 \(\{X(t)\}\) 的統計規律之間的聯系。

Part 2：\(\delta\) 函數

關於 \(\delta\) 函數的定義和性質，我們在這里只做簡單介紹，詳細內容可以參考《復變函數與積分變換》課程內容。\(\delta\) 函數是單位沖激函數 \(\delta(t)\) 的簡稱，它是一個廣義函數，狄拉克給出的定義為

\[\left\{ \begin{array}{ll} \delta(t)=0 \ , \quad t\neq0 \ . \\ \\ \displaystyle\int_{-\infty}^\infty\delta(t){\rm d}t=1 \ . \end{array} \right. \]

上述表達式不規定 \(δ\) 函數在 \(0\) 點的取值，是因為這個值無法嚴謹地表述出來，不能籠統的定義為正無窮或某一常數，並且該取值大小是由第二個積分式決定的，因此只需限定取值為 \(0\) 的區域即可。

從概念上理解，\(δ\) 函數指的是除了 \(0\) 以外的點的函數值都等於 \(0\) ，而其在整個定義域上的積分等於 \(1\) 的函數。下面我們不予證明地給出 \(\delta\) 函數的基本性質。

定理：若函數 \(f(\tau)\) 在 \(\tau=0\) 處連續的，則有：

\[\int_{-\infty}^\infty\delta(\tau)f(\tau){\rm d}\tau=f(0) \ . \]

推論：若函數 \(f(\tau)\) 在 \(\tau=\tau_0\) 處連續的，則有：

\[\int_{-\infty}^\infty\delta(\tau-\tau_0)f(\tau){\rm d}\tau=f(\tau_0) \ . \]

定理：以下兩組傅里葉變換對成立：

\[\int_{-\infty}^\infty\delta(\tau)e^{-i\omega\tau}{\rm d}\tau=1 \quad \longleftrightarrow \quad \delta(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty1\times e^{i\omega \tau}{\rm d}\omega \ . \\ \]

\[\int_{-\infty}^\infty1\times e^{-i\omega\tau}{\rm d}\tau=2\pi\delta(\omega) \quad \longleftrightarrow \quad 1=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty2\pi\delta(\omega)e^{i\omega\tau}{\rm d}\omega \ . \]

Part 3：白噪聲

白噪聲的定義：設 \(\{X(t),\,t\in T\}\) 是零均值隨機過程，滿足 \({\rm E}[X(t)]^2=\sigma^2<\infty\) 。如果對任意 \(s\neq t\) 都有 \({\rm E}(X(t)X(s))=0\) ，則稱該隨機過程是白噪聲過程。

白噪聲是寬平穩過程，其自相關函數可以寫為

\[R_X(\tau)=\left\{ \begin{array}{ll} \sigma^2 \ , & \tau=0 \ , \\ 0 \ , & \tau\neq0 \ . \end{array} \right. \]

但我們可以發現，在這種定義下，白噪聲的自相關函數的傅里葉變換不存在。為了對白噪聲過程進行頻譜分析，我們需要引入 \(\delta\) 函數。

這里我們可以從頻域的角度給出白噪聲的一個等價定義：設 \(\{X(t),\,t\in T\}\) 是零均值平穩過程，如果該過程的譜密度是一個正的常數，即 \(S_X(\omega)\equiv S_0>0\) ，則稱該隨機過程是白噪聲過程。

這里我們只需要驗證一下自相關函數是否滿足對任意 \(s\neq t\) 都有 \({\rm E}(X(t)X(s))=0\) 的條件。

利用譜密度求得的白噪聲的自相關函數為

\[R_X(\tau)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty S_X(\omega)e^{i\omega t}{\rm d}\omega=\frac{S_0}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{i\omega t}{\rm d}\omega=S_0\delta(\tau) \ . \]

可以推出這個過程在 \(t_1\neq t_2\) 時有

\[R_X(t_1-t_2)=S_0\delta(t_1-t_2)=0 \ . \]

即 \(X(t_1)\) 和 \(X(t_2)\) 是不相關的。所以 \(\{X(t),\,t\in T\}\) 是白噪聲過程。

事實上，從頻域的角度給出的白噪聲的定義是存在其局限性的。由於我們無法給出 \(δ\) 函數在 \(0\) 點的確定取值，所以我們無法通過譜密度函數求出這個白噪聲的方差函數。這是因為理想的白噪聲具有無限帶寬，因而其能量是無限大，也就是說 \(R_X(0)\) 是無限的，但這在現實世界是不可能存在的。

所以，在隨機過程的研究領域中，我們仍然認為白噪聲過程是一個方差有限的平穩過程。