深入淺出解釋FFT（七）——fft求頻譜圖和功率譜密度圖

頻譜圖：

聲音頻率與能量的關系用頻譜表示。在實際使用中，頻譜圖有三種，即線性振幅譜、對數振幅譜、自功率譜。線性振幅譜的縱坐標有明確的物理量綱，是最常用的。對數振幅譜中各譜線的振幅都作了對數計算，所以其縱坐標的單位是dB（分貝）。這個變換的目的是使那些振幅較低的成分相對高振幅成分得以拉高，以便觀察掩蓋在低幅噪聲中的周期信號。自功率譜是先對測量信號作自相關卷積，目的是去掉隨機干擾噪聲，保留並突出周期性信號，損失了相位特征，然后再作傅里葉變換。自功率譜圖使得周期性信號更加突出。

 

功率譜圖：又叫功率譜密度圖

功率譜是功率譜密度函數的簡稱，它定義為單位頻帶內的信號功率。它表示了信號功率隨着頻率的變化情況，即信號功率在頻域的分布狀況。

功率譜表示了信號功率隨着頻率的變化關系 ^。　常用於功率信號（區別於能量信號）的表述與分析，其曲線（即功率譜曲線）一般橫坐標為頻率，縱坐標為功率。

由於功率沒有負值，所以功率譜曲線上的縱坐標也沒有負數值，功率譜曲線所覆蓋的面積在數值上等於信號的總功率（能量）。

 

 

時域和頻域能量相等。

Parseval 定理

　　有限上序列x{k}的離散fourier變換是正交變換，滿足Parseval能量守恆定理，反映了序列在時域的能量等於其變換域的能量。
　　關於能量定義：信號幅度平方的積分，如果是數字信號，能量就是各點信號幅度值平方后的求和。
　　論壇帖子中關於等式關系給出的結論是：

求和 (x(tn)^2)T=RMS^2*Ttotal=求和(P(fn))△f*Ttotal
其中，x(tn)是n個x(t)時域采樣數據，T是時間間隔，Ttotal是時間總長，
P(fn)是第n個功率譜密度值，△f是FFT頻率間隔

　最后的結論是相等的，但是信號的能量到底是sum(x.^2)，還是sum(x.^2)*T？按照定義來說是前者沒錯。但是絕對的能量計算若不跟采樣頻率（采樣間隔）結合起來，又有什么對比作用？
　同樣1000個點幅值為1，一組波形是1秒內采到的，另一組波形是10秒內采到的，按公式算，信號的能量相等，按sum(x.^2)*T計算，10秒采集到的波形的能量更大。
　現實情況中，比較兩個波形的能量或有效值，都是采樣率相同，采樣時間相同，所有不會遇到如此糾結的問題。
　 生成一組信號：

1.  
   fs=1000;
2.  
    
3.  
   >> N=1000;
4.  
   >> n=0:N-1;
5.  
   >> t=n/fs;
6.  
   >> x=sin(2*pi*100*t);
7.  
   >> nfft=1024;
8.  
   >> deltF=fs/nfft;
9.  
   >> window=hanning(N);
10.  
    >> %直接法，periodogram函數得到的功率譜密度
11.  
    >>[Pxx_period,f_period]=periodogram(x,window,nfft,fs);
12.  
    > noverlap=50;
13.  
    >>[Pxx_welch,f_welch]=pwelch(x,window,noverlap,nfft,fs);

     

計算原始信號的有效值為： 0.0224
畫出頻譜與功率譜密度為：

幅值譜的幅值理論上應為1，不到1的原因是fft變換的點數與采樣點數不同所致。
利用FFT幅值譜的平方/N ,畫功率譜密度結果跟上右圖差不多。

1.  
   xw=1.633*x.*window'; % 加漢寧窗(恢復系數為1.633)，能量修正系數使加窗后能量保證不變
2.  
   mag=abs(fft(xw,nfft));
3.  
   Pxx_1=mag.^2/N/fs;
4.  
   f=(0:nfft/2-1)/nfft*fs;
5.  
   plot(f,Pxx_11(1:512)*2),title('Pxx_11')

    

   關於功率譜密度計算，先做自相關計算，再做FFT也能得到功率譜密度。

最后結果為：

summary：
當采樣點數=nfft時，deltF*N/fs=1;
　　功率譜密度直接求和即是頻域能量。
　　用幅值譜的平方估計頻域能量時，除完點數，還要除以采樣頻率。
　　時域能量要*采樣間隔（1/fs）
有效值的平方*采樣時間=時域能量