讀書筆記: 博弈論導論 - 12 - 不完整信息的靜態博弈貝葉斯博弈

貝葉斯博弈(Bayesian Games)

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的學習筆記。

不完整信息的靜態博弈(Incomplete information static games)

不完整信息博弈意味着玩家之間缺乏共識(common knowledge)，具體指的是其它對手的行動集、結果集和收益函數等信息。
對不完整信息博弈的處理方法來自於Harsanyi。
他引進了兩個概念來解決這個問題。
type space: 將對手隱藏的信息(行動集、結果集和收益函數等)轉化為多個types，每個type中的信息都是可知的。
belief: 由於不知道對手的具體type是什么，因此使用分布概率表示對手選擇某個type的可能性。
這樣就可以通過概率統計來計算可能的收益。

靜態不完整信息貝葉斯博弈(static Bayesian game of incomplete information)的normal-form描述

\[\left \langle N, \{ A_i \}_{i=1}^n, \{ \Theta_i \}_{i=1}^n, \{ v_i(\cdot; \theta_i), \theta_i \in \Theta_i \}_{i=1}^n, \{ \phi_i \}_{i=1}^n \right \rangle \\ where \\ N = \{ 1,2,\cdots, n\} \text{ : is the set of players} \\ A_i \text{ : the action set of player i} \\ \Theta_i \text{ : the type space of player i} \\ v_i : A \times \Theta_i \to \mathbb{R} \text{ : type dependent pay of function of player i} \\ \phi \text{ : the belief of player i with respect to the uncertainty over the other players' types} \\ \phi(\theta_{-i} | \theta_i) \text{ : the posterior conditional distribution on } \theta_{-i} \]

靜態不完整信息貝葉斯博弈處理流程：
1. 自然選擇一個類型組合(profile of types)\(\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_n\)。
2. 每個玩家知道自己\(\theta_i\)，使用先前的\(\phi_i\)來形成對對手type的分布概率。
3. 玩家選擇行動。
4. 根據玩家們的行動\(a = (a_i, a_2, \cdots, a_n)\)，可以或者收益\(v_i(a; \theta)\).
條件概率(conditional probability)
當事件S發生時，事件H發生的條件概率為：

\[\Pr{H|S} = \frac{\phi(S \land H)}{\phi(S)} \]

靜態不完整信息貝葉斯博弈 - 純策略

\[\left \langle N, \{ A_i \}_{i=1}^n, \{ \Theta_i \}_{i=1}^n, \{ v_i(\cdot; \theta_i), \theta_i \in \Theta_i \}_{i=1}^n, \{ \phi_i \}_{i=1}^n \right \rangle \\ \]

玩家i的一個純策略\(s_i(\theta_i) \to a_i\)

靜態不完整信息貝葉斯博弈 - 混合策略
玩家i的一個混合策略是一個在純策略之上的概率分布。
靜態不完整信息貝葉斯博弈 - 純策略貝葉斯納什均衡(pure-strategy Bayesian Nash equilibrium)
一個純策略貝葉斯納什均衡\(s^* = (s_1^*, \cdots, s_n^*)\)，如果對於每個玩家i，每個玩家的類型\(\theta_i \in \Theta_i\)，每個行動\(a_i \in A_i\)，滿足：

\[\sum_{\theta_{-i} \in \Theta_{-i}} \phi_i(\theta_{-i}|\theta_i) v_i(s_i^*(\theta_i), s_{-i}^*(\theta_{-i});\theta_i) \geq \sum_{\theta_{-i} \in \Theta_{-i}} \phi_i(\theta_{-i}|\theta_i) v_i(a_i, s_{-i}^*(\theta_{-i});\theta_i) \\ where \\ v_i(a_i, s_{-i}^*(\theta_{-i});\theta_i) \text{ : only on type } \theta_i \text{, the player i's payoff function} \]

其含義：對於每個玩家，其行動\(s_i^*(\theta_i)\)的分布概率收益總和總是最大的。

關於這章（甚至整本書），重要的是學會如何使用這些理論，書中提供了很好的示例。但這里就不介紹了。

參照

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