讀書筆記: 博弈論導論 - 10 - 完整信息的動態博弈 重復的博弈


讀書筆記: 博弈論導論 - 10 - 完整信息的動態博弈 重復的博弈

重復的博弈(Repeated Games)

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的學習筆記。

有限地重復的博弈

  • 有限地重復的博弈(Finitely Repeated Games)
    給定一個階段博弈\(G\),一個有限地重復的博弈被記做\(G(T, \delta)\),其中階段博弈\(G\)被連續進行了T次,\(\delta\)是公共折扣因子。

推論 10.1

如果有限重復博弈的階段博弈有一個唯一的納什博弈,
則這個有限重復博弈有一個唯一的子博弈精煉均衡。

  • 現值(present value)
    在一個無限隊列的收益$ { v_i }_{i=1}^{\infty}$中,玩家i的現值是

\[v_i = \sum_{t=1}^{\infty} \delta^{t-1} v_i^t \\ where \\ 0 < \delta < 1 \]

  • 平均收益(average payoff)
    在一個無限隊列的收益$ { v_i }_{i=1}^{\infty}$中,玩家i的現值是

\[\bar{v_i} = (1 - \delta) \sum_{t=1}^{\infty} \delta^{t-1} v_i^t \\ where \\ \delta < 1 \]

  • 策略
    在一個無限重復博弈中,\(H_t\)代表長度為t的所有可能歷史的集合。
    \(h_t \in H_t\)是一種歷史。
    \(H = \cup_{t=1}^{\infty} H_t\)為所有可能歷史的集合。
    玩家i的一個純策略是一個映射\(s_i: H \to S_i\),映射歷史到這個階段博弈的行動。
    玩家i的一個行為策略一個映射\(\sigma_i: H \to \Delta S_i\),映射歷史到這個階段博弈的行動的隨機選擇。

  • 子博弈精煉均衡(Sub-game-perfect equilibria)
    一個純博弈組合\((s_1^*(\cdot), s_2^*(\cdot), \cdots, s_n^*(\cdot)), s_i: H \to S_i, \forall i \in N\)是一個子博弈精煉均衡,
    如果在每一個子博弈中,\((s_1^*(\cdot), s_2^*(\cdot), \cdots, s_n^*(\cdot))\)的約束都是一個納什均衡。

推論 10.2

一個無限重復博弈\(G(\delta), \delta < 1\),其階段博弈G的一個(靜態)納什均衡\((\sigma_1^*, \sigma_2^*, \cdots, \sigma_n^*)\)
定義這個重復博弈的每個玩家i的策略為不依賴歷史的納什策略,\(\sigma_i^*(h) = \sigma_i^*, \forall h \in H\)
\((\sigma_1^*(h), \sigma_2^*(h), \cdots, \sigma_n^*(h))\)為這個重復博弈的一個子博弈精煉均衡。

不依賴歷史的無限重復博弈中階段博弈,其納什均衡就是重復博弈的子博弈精煉均衡。

推論 10.3

在一個無限重復博弈\(G(\delta)\)中,一個策略組合是一個子博弈精煉均衡,
當且僅當不存在玩家i在其單個歷史\(h_{t-1}\)中,可以從\(s_i(h_{t-1})\)偏離中獲得更多的收益。

  • 凸組合(convex combination)
    給定兩個矢量\(v = (v_1, v_2, \cdots, v_n)\)\(v’ = (v‘_1, v’_2, \cdots, v‘_n)\)
    \(\hat{v} = (\hat{v}_1, \hat{v}_2, \cdots, \hat{v}_n)\)是一個凸組合(convex combination),
    如果\(\hat{v} = \alpha v + (1 - \alpha) \hat{v}, \alpha \in [0, 1]\)或者說\(\hat{v}_i = \alpha v_i + (1 - \alpha) \hat{v}_i, \forall i \in [1, \cdots, n]\)
    從幾何上說凸組合位於兩個點之間線段上的任意點。

  • 凸包(convex hull)
    給定一組矢量\(V = \{v^1, v^2, \cdots, v^k \}\),則V的凸包(convex hull)為:

\[CoHull(V) = \{ \\ v = \sum_{j=1}^k \alpha_j v^j \\ where \\ v \in \mathbb{R}^n, \\ \exists (\alpha_1, \cdots, \alpha_k) \in R_+^n, \\ \sum_{j=1}^k \alpha_j = 1\\ \} \]

幾何上的理解為:
當n = 2(矢量的維度是2)時,
兩個點的凸包就是兩個點之間線段;
多個點的凸包就是多個點之間組成的平面;
當n > 2(矢量的維度 > 2)時,
兩個點的凸包就是兩個點之間線段;
多個點的凸包就是多個點之間組成的多維空間(維度為\(m \leq n \ \land \ m \leq k - 1\))。

  • 可行收益(feasible payoffs)
    一個博弈的所有收益的凸包為可行收益的集合。

大眾定理(the folk theorem)

\(G(\delta)\)為一個有限,同時選擇的完整信息博弈,
\(v^* = (v_1^*, \cdots, v_n^*)\)為博弈G的一個納什均衡的收益,也是G的可行收益。
如果存在\(v_i > v_i^*, \forall i \in N, \delta\)為一個足夠接近1的值,
則對於\(G(\delta)\)的無限重復博弈,存在一個子博弈精煉均衡,其平均收益接近於\(v = (v_1, \cdots, v_n)\)

大眾定理由於是多人貢獻,也搞不清是那些人,而得名。

參照


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