讀書筆記: 博弈論導論 - 15 - 不完整信息的動態博弈序貫理性

在不完整信息中的序貫理性(Sequential Rationality with Incomplete Information)

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的學習筆記。

子博弈精煉(subgame perfection)

序貫理性就是要求玩家總是選擇最佳反應。
子博弈精煉是要求玩家在每個信息集上總是選擇最佳反應。

在均衡路徑上(on the equilibrium path), 不在均衡路徑上(off the equilibrium path)
\(\sigma^* = (\sigma_1^*, \cdots, \sigma_n^*)\)是一個不完整信息博弈的貝葉斯納什均衡。
我們說一個信息集在均衡路徑上(on the equilibrium path)，如果給定的\(\sigma^*\)和類型分布，這個信息集有正可能性到達。
我們說一個信息集不在均衡路徑上(off the equilibrium path)，如果給定的\(\sigma^*\)和類型分布，這個信息集被到達的可能性為0。
信念體系
一個信念體系\(\mu\),在一個擴展形式博弈中，給每個信息集的每個決策點(decision node)都分配了一個概率。

\[\mu(x) \in [0, 1] \\ \sum_{x \in h} \mu(x) = 1, \forall h \in H \]

貝葉斯規則(Bayes' Rule)
\(\Pr \{A|B \} = \frac{\Pr \{A \land B \} }{\Pr \{A \land B \} + \Pr \{\lnot A \land B \}}\)

精煉貝葉斯均衡(perfect Bayesian equilibrium)的四個需求：

需求 15.1
每個玩家在每個信息集上，都將有一個意義明確的信念（關於他的位置）。也就是說博弈將有一個信念體系。
需求 15.2
\(\sigma^* = (\sigma_1^*, \cdots, \sigma_n^*)\)是一個不完整信息博弈的貝葉斯納什均衡，我們要求在所有信息集上，在均衡路徑上的信念符合貝葉斯規則。
需求 15.3
對於不在均衡路徑上的信息集，其信念值可以是任何值。
需求 15.4
給定玩家的信念，玩家的策略必須是序貫理性。也就是說在每一個信息集上，玩家將選擇信念對應的最佳反應。
精煉貝葉斯均衡(perfect Bayesian equilibrium)
如果滿足需求15.1 ~ 15.4，一個貝葉斯納什均衡\(\sigma^* = (\sigma_1^*, \cdots, \sigma_n^*)\)和一個信念體系\(\mu^*\)構成一個精煉貝葉斯均衡。

精煉貝葉斯均衡也是貝葉斯納什均衡和子博弈精煉均衡。

推論 15.1
一個（可能是混合的）策略組合\(\sigma^* = (\sigma_1^*, \cdots, \sigma_n^*)\)是一個貝葉斯博弈\(\Gamma\)的貝葉斯納什均衡，
如果策略組合\(\sigma^*\)能使所有的信息集都有具有可能性到達，
則策略組合\(\sigma^*\)和(從這個策略組合\(\sigma^*\)和類型的概率分布獲得的)信仰系統\(\mu^*\)一起，
就構成了一個精煉貝葉斯均衡(perfect Bayesian equilibrium)。

序貫均衡(Sequential Equilibrium)

一致的策略組合和信念體系
一個策略組合\(\sigma^* = (\sigma_1^*, \cdots, \sigma_n^*)\)和一個信念體系\(\mu^*\)是一致的，
如果存在一系列的非退化的混合策略組合\(\{ \sigma^k \}_{k=1}^{\infty}\)和一系列(根據貝葉斯規則獲得的)信任\(\{ \mu^k \}_{k=1}^{\infty}\)，
有\(\lim_{k \to \infty} (\sigma^k, \mu^k) = (\sigma^*, \mu^*)\)。

解釋：

這里的意思是：策略組合和信念體系可以互相迭代求解（也可以理解為一個序貫均衡的求解方式）
策略應該簡單地最大化每個信息集的預期收益。
那些在策略中得到正概率的信息集合的合理信念，應該是信息集合節點上的條件概率分布（根據貝葉斯規則）。

序貫均衡(Sequential Equilibrium)
一個策略組合\(\sigma^* = (\sigma_1^*, \cdots, \sigma_n^*)\)和一個信念體系\(\mu^*\)是一個序貫均衡，
如果\((\sigma^*, \mu^*)\)是一個一致的精煉貝葉斯均衡。

解釋：

序貫均衡是一個精煉貝葉斯均衡。
而一個精煉貝葉斯均衡的策略組合和信念體系是一致的（根據一致性推導所得），這個精煉貝葉斯均衡才是一個序貫均衡。

序貫均衡由於難以應用，較少被使用。

參照

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