讀書筆記: 博弈論導論 - 04 - 完整信息的靜態博弈 理性和公共知識

理性和公共知識

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的學習筆記。

純策略中的優勢(dominance)

• 數學表達: 除了玩家i以外所有玩家的策略集合

\[S \equiv S_1 \times S_2 \times \cdots S_n \\ S_{-i} \equiv S_1 \times S_2 \times \cdots \times S_{i-1} \times S_{i+1} \times \cdots S_n \\ s = (s_1, s_2, \cdots, s_n) \\ s_{-i} = (s_1, s_2, \cdots, s_{i-1}, s_{i+1}, \cdots, s_n) \\ s = (s_i, s_{-i}) \]

\(S\): 所有人的所有策略組合。
\(S_{-i}\): 除了玩家\(i\)以外，所有人的所有策略組合。
\(s\): 所有人的一種策略組合。
\(s_{-i}\): 除了玩家\(i\)以外，所有人的一種策略組合。
引進\(S_{-i}\)和\(s_{-i}\)是為了

1. 通過看玩家i以外的所有玩家的策略，來考慮玩家i的策略。
2. 或者專門看玩家i策略。

劣勢（被支配）策略(Dominated Strategies)

• 定義 4.1：嚴格劣勢於
  對於玩家i，策略\(s'_i\)嚴格劣勢於\(s_i\)，則：

\[v_i(s'_i, s_{-i}) < v(s_i, s_{-i}), \forall s_{-i} \in S_{-i} \]

斷言 4.1

一個理性玩家不會選擇一個嚴格劣勢策略。

優勢策略(Dominant Strategies)

• 定義 4.2： 嚴格優勢策略(strictly dominant strategy)
  策略\(s_i \in S_i\)是一個嚴格優勢策略，如果玩家i的任何其它策略都嚴格劣勢於\(s_i\)。

\[v_i(s_i, s_{-i}) > v(s'_i, s_{-i}), \forall s'_i \in S_i, s'_i \neq s_i, and \ \forall s_{-i} \in S_{-i} \]

• 定義 4.3： 嚴格優勢策略均衡(strictly dominant strategy equilibrium)
  策略組合\(s^D \in S_i\)是一個嚴格優勢策略均衡，如果其中每一個玩家i的策略都是嚴格優勢策略。

\[s_i \equiv s_i^D, \forall i \in N \]

推論 4.1

如果博弈\(\Gamma = (N, \{ S_i \}_{i=1}^{N},\{ v_i \}_{i=1}^{N})\)有一個嚴格優勢策略均衡\(s^D\)，則\(s^D\)是唯一的嚴格優勢策略均衡。

斷言 4.2

如果有的話，玩家一定會選擇優勢策略。

策略，策略集合，策略組合和策略均衡

• 策略(strategy)
  \(s_i\)是玩家的一個策略。

• 策略集合(strategy set)
  \(S_i\)是玩家的所有策略集合。\(s_i \in S_i\)
  \(S\)是所有玩家的所有策略的組合的集合。

• 策略組合(strategy profile)
  \(s\)是N個玩家的一種策略組合。\(s = (s_1, s_2, \cdots, s_n), s \in S\)

• 策略均衡(strategy equilibrium)
  \(s\)是任何一種導致合理結果的策略組合。

方法：嚴格劣勢策略的迭代消除

博弈論方法就是一個尋找均衡的過程。
方法名：IESDS(Iterated Elimination of Strictly Dominated Strategies)
基本邏輯：

一個理性玩家不會選擇一個嚴格劣勢策略。
如果有的話，玩家一定會選擇優勢策略。
過程：略

• 迭代消除均衡(Iterated elimination equilibrium)
  嚴格劣勢策略的迭代消除(IESDS)過程中幸存下來的博弈組合\(s^{ES}\)。

推論 4.2

如果博弈\(\Gamma = (N, \{ S_i \}_{i=1}^{N},\{ v_i \}_{i=1}^{N})\)，\(s^*\)是一個嚴格優勢策略均衡，則\(S^*\)是唯一的嚴格劣勢策略的迭代消除(IESDS)均衡。

信念(Beliefs)，最佳響應(Best Response)和可合理化(Rationalizability)

在已經學習的兩個方法嚴格優勢策略和嚴格劣勢策略的迭代消除(IESDS)之外的情況下，如果玩家i的一個策略\(s_i\)不是一個嚴格劣勢策略，那就意味着在一定條件下（對手的某些策略下），策略\(s_i\)是一個合理的響應。

• 最佳響應(best response)
  玩家i的策略\(s_i \in S_i\)是對手策略\(s_{-i} \in S_{-i}\)的最佳響應，則:

\[v_i(s_i, s_{-i}) \geq v_i(s'_i, s_{-i}), \forall s'_i \in S_i \]

• 信念(belief)
  一個玩家i的信念就是一個他對手們的可能策略組合\(s_{-i} \in S_{-i}\)。

• 最佳響應對應(best-response correspondence)
  最佳響應對應\(BR_i(s_{-i})\)，是玩家i，在他的對手們的策略組合\(s_{-i}\)上的所有可能最佳響應的集合。
  \(BR_i(s_{-i})\)可以認為是一個函數，其結果是一個集合。

• 不是一個最佳響應(never a best response)
  玩家i，對於他的對手們的策略組合\(s_{-i}\)的最佳響應集合\(BR_i(s_{-i})\)，如果\(s_{-i}\)不是在信任集合里，則\(s_i \in BR_i(s_{-i})\)都不是最佳響應。

總結

方法

• 嚴格優勢策略
• 嚴格劣勢策略的迭代消除(IESDS)
• 去掉不可信的策略組合（或者保留可信的策略組合）。

推論 4.1

如果博弈\(\Gamma = (N, \{ S_i \}_{i=1}^{N},\{ v_i \}_{i=1}^{N})\)有一個嚴格優勢策略均衡\(s^D\)，則\(s^D\)是唯一的嚴格優勢策略均衡。

推論 4.2

如果博弈\(\Gamma = (N, \{ S_i \}_{i=1}^{N},\{ v_i \}_{i=1}^{N})\)，\(s^*\)是一個嚴格優勢策略博弈，則\(S^*\)是唯一的嚴格劣勢策略的迭代消除(IESDS)均衡。

推論 4.3

對於玩家i，一個嚴格劣勢策略\(s_i\)，不可能是任何\(s_{-i} \in S_{-i}\)的最佳響應。

推論 4.4

在一個有限普通形式的博弈中，\(s^*\)是一個嚴格優勢策略，或者是一個唯一的嚴格劣勢策略的迭代消除(IESDS)均衡，
則s_i^*是一個對於任何\(s_{-i} \in S_{-i}\)的最佳響應。

斷言 4.1

一個理性玩家不會選擇一個嚴格劣勢策略。

斷言

如果有的話，玩家一定會選擇優勢策略。

斷言 4.2

一個理性玩家，在認為他的對手選擇策略\(s_{-i} \in S_{-i}\)時，總會選擇\(s_{-i}\)的最想響應。

斷言

一個理性玩家只會選擇(他對手們的策略組合的)最佳響應。

參照

• Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)

• 讀書筆記: 博弈論導論 - 01 - 單人決策問題
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 02 - 引入不確定性和時間
• 讀書筆記: 博弈論導論 - 03 - 完整信息的靜態博弈 預備知識