復數：
我們把形如a+bi（a,b均為實數）的數稱為復數，其中a稱為實部，b稱為虛部，i稱為虛數單位， i*i= -1;
復變函數:
四元數：
正如復數是有一個實部和一個虛部組成的，那我們將一個虛部換成三個虛部，即兩兩相交{i, j, k}。
其中n為三維的單位向量，i²=j²=k²=i·j·k=-1。這便是四元數的常規表達形式，不過單位四元數是有一大堆的約束的，並不是所有四維向量都是四元數。
如何去理解四元數：
- 四元數（以后不特指四元數=單位四元數）是四維空間中一個超球上面的點，滿足w²+x²+y²+z²=1；而純四元數是四維空間在w=0時的一個子空間的點，形式為{0, q}，特別注意的是純四元數與四元數是不同的概念。
- 四元數是復數虛部擴展的結果，復數的虛部為1個，而四元數虛部有3個，且兩兩互相正交，其中實部是cosθ/2，而虛部為一個単位軸乘以sinθ/2。
- 四元數自由度並沒有四個維度，由於存在w²+x²+y²+z²=1這個約束，它的自由度其實只有3，且每個四元數可以對應一個特征向量，即n。但請記住四元數並不是與特征向量一一對應的，后文會有說。
如何利用低維信息去理解高維信息？
例子：
三維的球用代數表示為x²+y²+z²=1，雖然球上面的點是由x，y，z三個參數來確定，但實際上我們只需要兩個。假設取x和z表示，其中y可以通過x和z進行求解。
那么，我們將y軸信息給隱去，只看投影平面，如下圖所示。這張圖的意思是，整個球在XOZ平面上投影是一個圓，當球面一點投影在圓上時，y=0；投影的位置位於圓內時，則分別兩種情況，y>0處於北半球，y<0處於南半球。
所以我們僅通過投影后的圓即可還原出整個球體。
推廣到四維，w²+x²+y²+z²=1中取x、y和z來表示超球。如下圖所示，四維空間投影到三維超平面（w=0）可能是一個two-sphere。當投影點在整個two-sphere的邊緣時，w一定為0，值得一提的是在這個空間內的四元數是一個純四元數。當投影點落在two-sphere的內部時，也分為兩種情況，w>0和w<0。但是我們可以發現這兩種情況下對應的特征向量是一樣的，所以我們將旋轉矩陣向四元數轉換時，是有兩個對應值的，四元數的范圍是2倍覆蓋於3D旋轉（2:1 mapping）。
四元數的“乘法”運算：
由於四元數有i，j，k三個虛部，所以得滿足i²=j²=k²=i·j·k=-1這個條件。這里令★為“乘法”操作符，則p★q的公式如下，具體的推導步驟我就不寫了。
封閉性：易證明，p和p的共軛相乘即可，|p★q|=1。
結合律：這條也很好證明，只要證明(p★q)★r=p★(q★r)。
單位元素：e=(1,0,0,0)，這也是四元數的一個初始值（相當於單位矩陣）。帶入上面的公式可知，p★(1,0,0,0)還是等於p。
逆元素：p存在一單位四元數，★操作的結果為e，具體參考下面公式，可以看出逆元素就是其共軛除以模的平方。
復數和二維旋轉：
復數相乘可以旋轉的性質想必大家都很清楚，乘以i可以逆時針（朝+i方向）旋轉90°，乘以-i可以順時針旋轉90°。列出一個公式。
其中推導公式中暗含了一個歐拉公式，包含sinθ和cosθ的矩陣就是我們常見的二維旋轉矩陣。可以發現二維旋轉矩陣其實也對應着一個類似四元數的一個向量表達形式，就是復數。
我們對矩陣進行求逆（主交換，次變號），發現其實對應的就是復數的共軛形式。也就是說cosθ+i·sinθ可以旋轉θ，而cosθ-i·sinθ可以旋轉-θ。這個特性上的優勢在四元數和三維旋轉矩陣中就更明顯了。
為什么二維旋轉可以交換？在三維旋轉中先繞x旋轉，在繞y旋轉和先繞y旋轉，在繞x旋轉肯定是不一樣的，具體看圖。那我們在二維旋轉中先轉90°再轉45°肯定和先轉45°再轉90°是一樣的。究其根本，是二維旋轉它首先就隱藏了一個非常重要的因素，就是旋轉軸永遠是垂直於二維平面的，也是固定的，在二維中無論怎么旋轉，都是共面的。放到三維空間，旋轉之所以存在次序性，之所以不能交換，是旋轉軸可以跟向量成任意角度。如果你放到一個二維子空間里面去旋轉，你依然可以滿足交換性。至於這個旋轉軸垂直為啥可以解釋第一個問題，我后面會慢慢說的。
