四元數基礎
以下內容摘自《3D數學基礎：圖形與游戲開發》（清華大學出版社）
四元數
1.四元數和軸-角對
繞軸n旋轉θ角：n是一個向量，根據左手或右手法則定義旋轉的正方向， θ角表示旋轉的量。
那么表示這個旋轉的四元數為：
2.單位四元數
幾何上存在兩個單位四元數，它們代表沒有角位移：
任意四元數乘以一個幾何單位四元數得到的角位移相同（雖然乘以兩種形式得到q和-q的數形式不同，但是幾何意義相同，可以認為結果相同）。
數學上實際只有一個單位四元數，即：
因為數學上q和-q不相等。
3.四元數的模
代入軸-角對的公式求模。
n為單位向量，最后可以得到四元數的模為1.稱為單位四元數。
4.四元數的共軛和逆
四元數的共軛就是讓四元數的向量部分取負，記作：
四元數和它的共軛代表相反的角位移，因為相當於旋轉軸反向。
四元數的逆定義為四元數的共軛除以它的模：
一般使用單位四元數，此時它的逆和共軛其實是相等的。
5.四元數乘法（叉乘）
不用為四元數叉乘使用乘號，“行”“列”四元數也沒有什么區別。
四元數叉乘滿足結合律，但是不滿足交換律。
四元數乘積的模等於模的乘積，這樣保證了單位四元數相乘仍然是單位四元數。
四元數乘積的逆等於各個四元數的逆以相反的順序相乘。
6.標准3D點的四元數旋轉
擴展一個標准的3D點（x，y，z）到四元數空間，通過定義四元數：
即可。
設我們討論的旋轉四元數為：
則執行下面的乘法可以使3D點p繞n旋轉：
多次旋轉的情況：
注意這個旋轉是以從右向左的順序發生的。
可以改變標准的定義，以相反的運算順序來定義四元數乘法，從而將形式變為與旋轉發生的順序一致，此處公式略去。
7.四元數“差”
利用四元數的乘法和逆，可以計算兩個四元數的“差”，四元數“差”表示一個方位到另一個方位的角位移。
注意不能除以四元數，只能乘以它們的逆來達到目的。
8.四元數的點乘
點乘結果是標量，兩個單位四元數點乘的結果區間為[-1,1]。
點乘結果的絕對值越大，相乘的兩個四元數代表的角位移越相似。
9.四元數的對數、指數和標量乘運算
略。
10.四元數求冪
若四元數
代表一個角位移， 
中取t等於1/3，就得到代表1/3這個角位移的四元數。
注意的是四元數表達角位移時使用最短圓弧，不能繞圈。
即如果q代表繞x軸順時針旋轉60°，那么t取4時不是預期的繞x軸順時針旋轉240°，而是逆時針80°。
所以凡是涉及到指數運算的代數公式，如
，對四元數不再適用。
S=4，t=1/2，本來應該是等同於 
，然而由於t=4時選了最短弧，所以產生的不是預期的結果。
11.四元數插值——“Slerp”
球面線性插值（Spherical Linear Interpolation）.
Slerp運算非常有用，因為它可以在兩個四元數間平滑插值，避免了歐拉角插值的所有問題（角度限制以找到最短弧，萬向鎖（導致抖動、路徑錯誤），根本問題是插值過程中角速度不是恆定的。）
兩個標量間的插值一般是這樣：
可以使用同樣的步驟在四元數間插值：
(1).計算兩個值的差。利用逆矩陣推到的。
(2).計算差的一部分。（四元數求冪）。
(3).在開始值上加上差的一部分。（方法使用四元數乘法來組合角位移）
這是理論上的Slerp計算過程。實踐中將使用一種更加有效的方法。
所有單位四元數都存在於一個4D球面上。
幾何推導略。結果：
可以用點乘來計算兩個四元數之間的“角度”。
有兩點需要考慮：
（1）四元數q和-q代表相同的方位，但它們作為slerp的參數時可能導致不一樣的結果。解決方法是選擇兩個數的符號使得它們點乘的結果是非負。
（2）如果兩個四元數非常接近，那么sin會非常小，這時候除法可能會出現問題，為了避免這樣的問題，當sin非常小時使用簡單的線性插值。
12.四元數樣條——“squad”
Spherical and Quadrangle
木有看懂。
13.四元數的優缺點
優點：
平滑插值。
快速連接和角位移求逆。
能和矩陣形式快速轉換。
僅用四個數。
缺點：
比歐拉角稍微大一些。
四元數可能不合法。壞的輸入數據或浮點數舍入誤差積累引起。（通過四元數標准化解決這個問題，確保四元數為單位大小。）
難於使用。
14.四元數、歐拉角、矩陣之間的轉換
略。
參考資料：
《3D數學基礎：圖形與游戲開發》（清華大學出版社）