在3D圖形學中，最常用的旋轉表示方法便是四元數和歐拉角，比起矩陣來具有節省存儲空間和方便插值的優點。本文主要歸納了兩種表達方式的轉換，計算公式采用3D笛卡爾坐標系：
單位四元數可視化為三維矢量加上第四維的標量坐標 。其中，矢量部分等於單位旋轉軸乘以旋轉半角的正弦，標量部分等於旋轉半角的余弦。
圖1 3D Cartesian coordinate System (from wikipedia)
定義
分別為繞Z軸、Y軸、X軸的旋轉角度，如果用Tait-Bryan angle表示，分別為Yaw、Pitch、Roll。
圖2 Tait-Bryan angles (from wikipedia)
一、四元數的定義
通過旋轉軸和繞該軸旋轉的角度可以構造一個四元數：
其中
是繞旋轉軸旋轉的角度，
為旋轉軸在x,y,z方向的分量（由此確定了旋轉軸）。
二、歐拉角到四元數的轉換
三、四元數到歐拉角的轉換
arctan和arcsin的結果是
，這並不能覆蓋所有朝向(對於
角
的取值范圍已經滿足)，因此需要用atan2來代替arctan。
四、在其他坐標系下使用
在其他坐標系下，需根據坐標軸的定義，調整一下以上公式。如在Direct3D中，笛卡爾坐標系的X軸變為Z軸，Y軸變為X軸，Z軸變為Y軸（無需考慮方向）。
五、示例代碼
http://www.cppblog.com/Files/heath/Euler2Quaternion.rar
Demo渲染兩個模型，左邊使用歐拉角，右邊使用四元數，方向鍵Up、Left、Right旋轉模型。
VS2008下一個編譯錯誤解決辦法：
錯誤：#include "d3dx9.h"找不到該文件
解決辦法：
- 將D3D9的頭文件所在目錄添加到項目包含目錄中去，即C:\Program Files (x86)\Microsoft DirectX SDK (June 2010)\Include
- 將D3D9的32位庫文件所在目錄添加到項目庫目錄中去，即C:\Program Files (x86)\Microsoft DirectX SDK (June 2010)\Lib\x86
參考文獻：
[1] Conversion between quaternions and Euler angles
[2] Ken Shoemake, Animating Rotation with Quaternion Curves, 1985
[3]四元數與歐拉角之間的轉換
[4]四元數與旋轉
[5]四元數與旋轉
[6]【Unity技巧】四元數（Quaternion）和旋轉
[7]Understanding Quaternions 中文翻譯《理解四元數》
[8]四元數基礎
[9]《3D數學基礎：圖形與游戲開發》（清華大學出版社）