在3D圖形學中，最常用的旋轉表示方法便是四元數和歐拉角，比起矩陣來具有節省存儲空間和方便插值的優點。本文主要歸納了兩種表達方式的轉換，計算公式采用3D笛卡爾坐標系：

                                                                                                          

                                                                                               圖1 3D Cartesian coordinate System (from wikipedia)

                                定義分別為繞Z軸、Y軸、X軸的旋轉角度，如果用Tait-Bryan angle表示，分別為Yaw、Pitch、Roll。

                                                                                                             

                                                                                                     圖2 Tait-Bryan angles (from wikipedia)

                              一、四元數的定義

                                                                                                              

                                  通過旋轉軸和繞該軸旋轉的角度可以構造一個四元數       ：

                                  其中是繞旋轉軸旋轉的角度，為旋轉軸在x,y,z方向的分量（由此確定了旋轉軸）。

                             二、歐拉角到四元數的轉換

                                                                                         

                              三、四元數到歐拉角的轉換

                                                                                         

                                               arctan和arcsin的結果是，這並不能覆蓋所有朝向(對於角的取值范圍已經滿足)，因此需要用atan2來代替arctan。

                                                                                  

                            四、在其他坐標系下使用

                                                 在其他坐標系下，需根據坐標軸的定義，調整一下以上公式。如在Direct3D中，笛卡爾坐標系的X軸變為Z軸，Y軸變為X軸，Z軸變為Y軸（無需考慮方向）。