作為從未學過慣性導航的小白，四元數折磨了我很長時間，至今也是似懂非懂的。下面說的不正確的，希望大神指點。
四元數說起來很好理解，即表示繞着瞬時軸n旋轉θ角度。瞬時軸n=cosαi+cosγj+cosβk。
四元數的表示即Q=cos(θ/2)+sin(θ/2)(cosαi+cosγj+cosβk)=q0+q1i+q2j+q3k。姿態矩陣是如何和四元數對應的呢？θ和n是多少呢？
先擺出一個很重要的性質：坐標系旋轉，矢量固定不變。坐標系OXYZ按照四元數Q轉動，得到新坐標系OXbYbZb，設矢量V在兩坐標系中的坐標分別為Ve，Vb。那么有，Vb=Q-1VeQ。具體見http://www.doc88.com/p-893241688972.html
這就是四元數得到旋轉矩陣的由來。
這篇文章寫的太好了，我就直接復制過來了，感謝作者。
四元數表示旋轉矩陣，四元數的微分都說的很清楚了，然而我還是不知道q0,q1,q2,q3跟姿態角到底有什么關系。我想了很久，不知道下面的理解是不是對的。
n的方向就是陀螺儀測得的（wx,wy,wz）矢量和的方向，θ就是（wx,wy,wz）矢量和的長度！！！
wx,wy,wz是飛機繞三個軸旋轉的角速度，飛機我們認為是分步驟繞三個軸旋轉后到達最終位置的，四元數旋轉我們認為是一步旋轉到最終位置的。那么這兩種旋轉肯定有關系啊！四元數是繞一個向量旋轉，n表示的是旋轉方向，θ表示的是旋轉量。wx,wy,wz的旋轉其實也是繞三個向量旋轉，即（wx,0,0）（0,wy,0）（0,0,wz）。它們最終都到達了同一個位置，那么n當然是（wx,0,0）（0,wy,0）（0,0,wz）三個向量的矢量和啦！
在這里我們一定要認清，向量是與坐標系沒有關系的！向量就是向量，是固定的！它只是在不同的坐標系表示的坐標不同罷了！
我們被很多書上的圖誤導了
就像這樣的圖，先入為主的認為n是在地理坐標系的，然后去想飛機是怎么旋轉的，怎么想也想不明白！當我們談到向量，我們一定要認為他是獨立的存在空間的，跟坐標系什么關系都沒有！
四元數的本質就是，飛機可以看成繞三個向量x,y,z三步旋轉到最終位置，也可以看成繞一個向量n一步旋轉到最終位置。那么當然n=x+y+z啦，這里是矢量和。
我們始終要牢記：向量是獨立的！跟坐標系沒有任何關系！
n、θ和歐拉角的關系，我一直講的是角速度，其實應該是角度的增量。θ應該是三個角度增量的長度。下面是PX4的代碼。
// Convert the rotation vector to its equivalent quaternion
rotationMag = correctedDelAng.length();
if (rotationMag < 1e-12f)
{
deltaQuat[0] = 1.0;
deltaQuat[1] = 0.0;
deltaQuat[2] = 0.0;
deltaQuat[3] = 0.0;
}
else
{
// We are using double here as we are unsure how small
// the angle differences are and if we get into numeric
// issues with float. The runtime impact is not measurable
// for these quantities.
deltaQuat[0] = cos(0.5*(double)rotationMag);
float rotScaler = (sin(0.5*(double)rotationMag))/(double)rotationMag;
deltaQuat[1] = correctedDelAng.x*rotScaler;
deltaQuat[2] = correctedDelAng.y*rotScaler;
deltaQuat[3] = correctedDelAng.z*rotScaler;
}
// Update the quaternions by rotating from the previous attitude through
// the delta angle rotation quaternion
qUpdated[0] = states[0]*deltaQuat[0] - states[1]*deltaQuat[1] - states[2]*deltaQuat[2] - states[3]*deltaQuat[3];
qUpdated[1] = states[0]*deltaQuat[1] + states[1]*deltaQuat[0] + states[2]*deltaQuat[3] - states[3]*deltaQuat[2];
qUpdated[2] = states[0]*deltaQuat[2] + states[2]*deltaQuat[0] + states[3]*deltaQuat[1] - states[1]*deltaQuat[3];
qUpdated[3] = states[0]*deltaQuat[3] + states[3]*deltaQuat[0] + states[1]*deltaQuat[2] - states[2]*deltaQuat[1];
// Normalise the quaternions and update the quaternion states
quatMag = sqrtf(sq(qUpdated[0]) + sq(qUpdated[1]) + sq(qUpdated[2]) + sq(qUpdated[3]));
if (quatMag > 1e-16f)
{
float quatMagInv = 1.0f/quatMag;
states[0] = quatMagInv*qUpdated[0];
states[1] = quatMagInv*qUpdated[1];
states[2] = quatMagInv*qUpdated[2];
states[3] = quatMagInv*qUpdated[3];
}
correctedDelAng是實時測量的角速度乘以采樣周期T。
這里Q的更新采用的是Q=QXΔQ。依據如下：
即兩個四元數相乘，表示兩次旋轉。初始的旋轉加上此次的旋轉增量，即為此刻的旋轉矩陣了。
5.今天又看到另外一種求四元數與姿態角的關系的。感覺這種方法更直觀。
把姿態角的三次旋轉就看成三次四元數旋轉，然后q1q2q3就是四元數最終旋轉矩陣了。
cosRoll = cosf(initialRoll * 0.5f);
sinRoll = sinf(initialRoll * 0.5f);
cosPitch = cosf(initialPitch * 0.5f);
sinPitch = sinf(initialPitch * 0.5f);
cosHeading = cosf(initialHdg * 0.5f);
sinHeading = sinf(initialHdg * 0.5f);
initQuat[0] = cosRoll * cosPitch * cosHeading + sinRoll * sinPitch * sinHeading;
initQuat[1] = sinRoll * cosPitch * cosHeading - cosRoll * sinPitch * sinHeading;
initQuat[2] = cosRoll * sinPitch * cosHeading + sinRoll * cosPitch * sinHeading;
initQuat[3] = cosRoll * cosPitch * sinHeading - sinRoll * sinPitch * cosHeading;
這是PX4給Q賦初值的代碼，就是采用的5這種方法。按理來說這才是最合理的。一開始就把三次旋轉就用四元數表示了。至於上面的那種辦法，合並旋轉軸，也是對的。