四元數記法：
一個四元數包含一個標量分量和一個3D向量分量。記標量為w，記向量為v或分開的x,y,z。如下：
[w,v]
[w,(x,y,z)]
四元數與復數：
四元數擴展了復數系統 ，它使用三個虛部i,j,k。它們的關系如下：
i2=j2=k2=-1
ij=k,ji=-k
jk=i,kj=-i
ki=j,ik=-j
一個四元數[w,(x,y,z)]定義了復數 w+xi+yj+zk。
四元數和軸-角對：
四元數能被解釋為角位移的軸-角對方式。其公式為下：
設向量n為旋轉軸，θ為繞軸旋轉的量。
q=[cos(θ/2) sin(θ/2)n]
=[cos(θ/2) (sin(θ/2)nx sin(θ/2)ny sin(θ/2)nz)]
負四元數：
-q=[-w (-x -y -z)]=[-w -v]
q和-q代表的實際角位移是相同的，很奇怪吧！如果我們將θ加上360度的倍數，不會改變q代表的角位移，但它使q的四個分量變負了。因此，3D中的任意角位移都有兩種不同的四元數表示方式，它們互相為負。
單位四元數：
幾何上存在2個單位四元數：[1,0]和[-1,0]。它們的意義是：當旋轉角為360度的整數倍時，方位並沒有改變，並且旋轉軸也是無關緊要的。
數學上只有一個單位四元數：[1,0]。任意四元數q乘以單位四元數[1,0]仍為q。
四元數的模：
公式如下：
||q||=||[w (x y z)]||=sqrt(w2+x2+y2+z2)
=||[w v]||=sqrt(w2+||v||2)
幾何意義：
||q||=sqrt(cos(θ/2)2+sin(θ/2)2||n||2)
若n為單位向量，則：||q||=1
四元數共軛：
q*=[w -v]=[w (-x -y -z)]
四元數的逆：
q-1=q*/||q||
但我們只使用單位四元數，故q-1=q*
幾何解釋：使向量v反向，則旋轉方向也反向了。因此q繞軸旋轉θ角，而q*沿相反的方向旋轉相同的角度。
四元數乘法（叉乘）：
[w1 v1][w2 v2]=[w1w2-v1v2 w1v2+w2v1+v2×v1]
四元數叉乘滿足結合律但不滿足交換律：
(ab)c=a(bc)
ab!=ba
四元數乘積的模等於模的乘積：
||q1q2||=||q1|| ||q2||
四元數乘積的逆等於各個四元數的逆以相反的順序相乘：
(ab)-1=b-1a-1
如何用四元數將3D點繞軸旋轉：
讓我們“擴展”一個標准3D點(x,y,z)到四元數空間，通過定義四元數p=[0, (x,y,z)]即可。設q為我們討論的旋轉四元數形式[cos(θ/2) sin(θ/2)n]，n為旋轉軸，單位向量，θ為旋轉角。你會驚奇地發現，執行下面乘法可使3D點p繞n旋轉：
p'=qpq-1
四元數乘法的優勢在哪？對點p先執行a旋轉再執行b旋轉：
p'=b(apa-1)b-1=(ba)p(a-1b-1)=(ba)p(ba)-1
注意，先進行a旋轉再進行b旋轉等價於執行乘積ba代表的單一旋轉。因此，四元數乘法可用來連接多次旋轉，這和矩陣乘法效果一樣。
四元數的“差”：
定義：從一個方位到另一個方位的角位移。
如給定方位a和方位b，求a到b的角位移d。用四元數表示為：ad=b => d=a-1b
四元數點乘：
q1·q2=[w1 v1]·[w2 v2]=w1w2+v1·v2
幾何解釋：類似於向量點乘的幾何解釋，兩四元數點乘絕對值越大，其代表的角位移越相似。
四元數的對數：
首先，令α=θ/2，||n||=1，則q=[cosα nsinα]=[cosα xsinα ysinα zsinα]，公式如下：
log q=log[cosα nsinα]=[0 αn]
注意log q的結果，它一般不是單位四元數。
四元數的指數：
設四元數p的形式為[0, αn]，n為單位向量：
p=[0 αn]=[0 (αx αy αz)]
||n||=1
公式如下：
exp p=exp([0 αn])=[cosα nsinα]
根據定義，exp p問題返回單位四元數。
四元數指數運算為四元數對數運算的逆運算：
exp(log q)=q
四元數與標量相乘：
kq=k[w v]=[kw kv]
=k[w (x y z)]=[kw kx ky kz]
四元數求冥：
qt=exp(tlog q)
幾何意義：對數運算log q提取了軸n和角度θ；接着和指數t進行標量乘時，結果是θ乘以t；最后，指數運算“撤消”了對數運算，以tθ和n重新計算w和v。
求四元數冥的代碼如下：
1 /// <summary> 2 /// 四元數求冥 3 /// </summary> 4 /// <param name="e">指數</param> 5 /// <param name="w,x,y,z">四元數輸入，輸出</param> 6 static void Calc(float e, ref float w, ref float x, ref float y, ref float z) 7 { 8 // 檢查單位四元數的情況，避免除零 9 if (Mathf.Abs(w) < 0.9999f) 10 { 11 // 提取半角(θ/2) 12 float alpha = Mathf.Acos(w); 13 // 計算新的alpha值 14 float newAlpha = alpha * e; 15 // 計算數的w值 16 w = Mathf.Cos(newAlpha); 17 float multi = Mathf.Sin(newAlpha) / Mathf.Sin(alpha); 18 // 計算新的xyz值 19 x *= multi; 20 y *= multi; 21 z *= multi; 22 } 23 }
四元數插值——"slerp"：
當今3D數學中四元數存在的理由是由於一種稱作slerp的運算，即球面線性插值（Spherical Linear Interpolation）。slerp運算非常有用，因為它可以在兩個四元數之間平常插值。slerp插值避免了歐拉角插值的所有問題（如萬向鎖）。
求法一：
設開始與結束的四元數為q0，q1，插值變量設為t，t在[0, 1]之間變化 。則slerp函數定義為: slerp(q0,q1,t)
計算此函數的思路如下：
△a=a1-a0
lerp(a0,a1,t)=a0+t△a
四元數中，
1. 計算差值：q0△q=q1 => △q=q0-1q1
2. 取插值的一部分，應用求冥的辦法，即(△q)t
3. 初始值加上插值的一部分，應用四元數乘法。
綜上，公式如下：
slerp(q0,q1,t)=q0(q0-1q1)t
這是理論上的公式，實踐中，將使用更有效的一種辦法。
求法二：
slerp的基本思想是沿着4D球面上連接兩個四元數的弧插值。
可以把這種思想表現在平面上，如向量v0,v1都是單位向量，w是之間的夾角，t在[0,1]區間，求vt：
求得：vt=(sin(1-t)w/sinw)v0+(sintw/sinw)v1
將同樣的思想擴展到四元數上，重寫slerp可得：
slerp(q0,q1,t)=(sin(1-t)w/sinw)q0+(sintw/sinw)q1
可以用點乘來計算兩個四元數間的“角度”。
這里有2點需要考慮：第一，四元數q和-q代表相同的方位，但它們作為slerp參數時可能導致不一樣的結果，這是因為4D球面不是歐氏空間的直接擴展。而這種現象在2D和3D中不會發生。解決方法是選擇q0和q1的符號使得點乘q0·q1的結果是非負。第二個要考慮的是如果q0和q1非常接近，sinθ會非常小，這時除法可能會出現問題。為了避免這樣的問題，當sinθ非常小時使用簡單的線性插值。