矩陣特征值和橢圓長短軸的關系？

本文轉載自查看原文 2017-11-30 20:07 3562 math

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前段時間在看MIT的線性代數的公開課，這里以二維空間為例，簡單說一下。

二維空間中橢圓最基本的形式是：
$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$
很顯然橢圓的兩軸為別是軸及軸，軸長分別是2a以及2b。
上面這個方程寫成矩陣的形式是這樣子的：
$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]^T \left[ \begin{array}{cc} 1/a^2 & 0 \\ 0 & 1/b^2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] =x^TAx=1$
的特征值為：
$\lambda_1=1/a^2$ ， $\lambda_2=1/b^2$ ；
的歸一化特征向量為：
$\mu_1= \left[ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right]$ $\mu_2= \left[ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right]$ 。
橢圓的長短軸分別沿着矩陣 $\mathbf{A}$ 的兩個特征向量的方向，而兩個與之對應的特征值分別是半長軸和半短軸的長度的平方的倒數。

更一般一點的例子：
ax^2+2bxy+cy^2=1
化成矩陣形式是：
$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]^T \left[ \begin{array}{cc} a & b \\ b & c \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] =x^TAx=1$
（這里要求矩陣是正定矩陣）
舉個例子說明：
5x^2+8xy+5y^2=1
$\left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right]^T \left[ \begin{array}{cc} 5 & 4 \\ 4 & 5 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right] =x^TAx=1$
的特征值為：
$\lambda_1=1$ ， $\lambda_2=9$ ;
的歸一化特征向量為：
$\mu_1= \left[ \begin{array}{c} 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} \end{array} \right]$ $\mu_2= \left[ \begin{array}{c} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{array} \right]$ 。
於是可以將正交分解：
$A=Q \Lambda Q^{-1}=Q \Lambda Q^{T}= \left[ \begin{array}{cc} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 9 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{array} \right]$
因此
$\begin{equation} \begin{split} P(f)=& x^{T}Ax=x^{T}Q \Lambda Q^{T}x \\=& \left( Q^{T}x\right)^{T} \Lambda \left( Q^{T}x\right) \\=&1 \left( \frac{x-y}{\sqrt{2}} \right)^{2} +9 \left( \frac{x+y}{\sqrt{2}} \right)^{2} \end{split} \end{equation}$
於是可以看出，橢圓的軸向沿着的特征向量，半軸長是的特征值倒數的開方。

更一般以及更高維同理。

作者：Eathen
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來源：知乎
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