理解四元數

 

Understanding Quaternions

 轉載自：http://www.qiujiawei.com/understanding-quaternions/

正文

 

在這篇文章中我會嘗試用簡單的方式去解釋四元數的概念，即用可視化的方式解釋四元數以及幾種對四元數的操作。我將把矩陣、歐拉角和四元數放在一起比較，並解釋什么時候該用四元數、什么時候該用歐拉角或矩陣。

 

 

 

介紹

在計算機圖形學中，我們使用轉換矩陣來表示空間中的一個位置以及朝向。一個轉換矩陣還可以表示對一個目標的縮放(scale)或錯切(shear)等。 我們可以把轉換矩陣想象成一個空間，當你用這個矩陣乘以向量、點（甚至矩陣）后， 你就把向量、點、矩陣轉換進這個空間了。

在這篇文章中，我不會討論轉換矩陣的細節。你可以查看我前面的文章，文章中描述了轉換矩陣的細節。

在這篇文章中，我想要討論一個可替代的方案，即用四元數來描述空間里的物體的朝向。

四元數的概念是由愛爾蘭數學家Sir William Rowan Hamilton發明的（1843年，都柏林）。Hamilton當時正和他的妻子前往愛爾蘭皇家研究院，當他從Brougham橋通過皇家運河時，他領悟到了一個激動人心的東西，並立刻把它刻在橋的一個石頭上：

William Rowan Hamilton Plaque on Broome Bridge on the Royal Canal commemorating his discovery of the fundamental formula for quaternion multiplication.

復數

在我們能夠完全理解四元數之前，我們必須先知道四元數是怎么來的。四元數的根源其實是復數。

除了知名的數集（自然數、整數、實數、分數）之外，復數系統引入了一個新的數集——虛數。虛數的發明是為了解決一些特定的無解的方程，例如：

要解決這個等式，必須讓 這當然是不行的，因為任意實數的平方都是非負數。

 

一般而言，數學家是不能忍受一個等式是無解的。於是，一個新的術語被發明了，它就是虛數，一個可以解決上面這個等式的數。

虛數有這樣的形式：

不要為這個術語較真，因為邏輯上這個數是不存在的。只要知道i是一個平方等於-1的東西即可。

虛數的集合可以用來表示

復數的集合是一個實數和一個虛數的和，形式如下：

 

可以認為所有實數都是b=0的復數、所有虛數都是a=0的復數。

復數的加減

加法：

 

減法：

 

復數的系數縮放

 

復數的積

 

復數的平方

 

共軛復數

復數的共軛就是指把復數的虛數部分變成負的。共軛復數的符號是。

 

復數和它的共軛復數的乘積是：

 

復數的絕對值

我們使用共軛復數來計算復數的絕對值：

 

兩復數的商

 

i的冪

如果的平方等於-1，那么的n次冪也應該存在：

 

如果按照這個順序寫下去，會出現這樣一個模式： (1,\mathbf i,-1,-\mathbf i,1,...)

一個類似的模式也出現在遞增的負數冪：

i

 

你可能已經在數學里頭見過類似的模式，但是是以（x,y,-x,-y,x,...)的形式，這是在2D笛卡爾平面對一個點逆時針旋轉90度時生成的；（x,-y,-x,y,x,...)則是在2D笛卡爾平面對一個點順時針旋轉90度時生成的。

復數平面

我們也能夠把復數映射到一個2D網格平面——復數平面，只需要把實數映射到橫軸、虛數映射到縱軸。

如前面的序列所示，我們可以認為，對一個復數乘以i，這個復數就在復數平面上旋轉了90度。

讓我們看看這是不是真的。我們隨機地在復數平面上取一個點：

 

 

t剛好是開始的p。如果我們把這些復數放到復數平面上，就得到下面的圖：

我們也可以按順時針方向旋轉，只需要把上面的乘數i改成-i。

 

旋轉數（Rotors)

我們也可以在復數平面上進行任意角度的旋轉，只需要定義下面這個復數：

 

這也是一個在復數平面繞原點逆時針旋轉任意點的方法。（譯注：這句話應該是在說旋轉矩陣）

 

四元數

補充：

（\mathbf i \mathbf j, \mathbf j \mathbf k, \mathbf k \mathbf i這幾個性質的可視化）

上圖展示了如何用i、j、k作為笛卡爾坐標系的單位向量。

 

四元數的加減

 

四元數的積

 

再把這個表達式擴展成多個有序對的和：

 

如果把后3個四元數相加，並提取公共部分，就可以把等式改寫成：

 

這個等式是2個有序對的和。第1個有序對是一個實四元數，第2個是一個純四元數。這兩個四元數也可以合並成一個：

 

如果把下面的表達式代入上面的等式：

 

（譯注：注意，第三條和第四條並不是四元數的點積和叉積，而是向量的點積和叉積）

我們就得到了：

 

這就是四元數乘積的一般式。

實四元數

 

四元數的系數縮放

 

純四元數

 

四元數的加法形式

我們可以把四元數寫成實四元數和純四元數的和：

 

單位四元數

給定任意的向量v，我們可以把這個向量寫成一個系數和一個單位方向向量的乘積：

 

將這個定義和純四元數的定義結合，就得到了：

 

四元數的二元形式

我們現在可以把單位四元數的定義和四元數的加法形式結合到一起，就創造了一種新的四元數的表示法，這種表示法和復數的表示法形似：

 

這就給了我們一種和復數非常相似的四元數表示法：

 

共軛四元數

 

四元數范數

 

四元數規范化

 

四元數的逆

 

四元數的點積

和向量的點積相似，我們也可以計算2個四元數的點積，只需要將各個對應的系數相乘，然后相加:

 

旋轉

前面我們定義了一個特殊的復數：旋轉數。它是用來旋轉2D復數平面的點的：

 

根據四元數和復數的相似性，應該有可能設計一個可以旋轉3D空間的點的四元數：

 

讓我們測試一下這個理論是否可靠，方法就是計算四元數q和向量p的積。第一步，我們把p寫成純四元數的形式：

 

以及單位四元數q：

 

我們可以看到結果是一個同時有系數、有虛向量的四元數。

 

好了，現在計算下qp：

 

這正是我們所期望的！

我們可以用圖像展示旋轉過程：

現在，讓我們考慮更一般化的四元數，即和p不正交的四元數。現在讓我們把p的向量部分偏移45度：

 

 

我們可以用圖像展示旋轉過程：

 

然而，還有一線生機。Hamilton發現（但沒有正式宣布），如果對qp右乘q的逆，出來的結果是一個純四元數，並且四元數向量部分的范數可以保持不變。讓我們試試應用在我們的例子里。

 

現在，把前面算出來的qp再次拿出來：

 

下面的圖像展示了旋轉結果：

所以我們可以看到，這個結果是一個純四元數，並且原四元數的向量的范數也保持住了。但是還有一個問題：向量被旋轉了90度而不是45度。這剛好是我們需要的度數的兩倍！為了正確地讓一個向量繞某個軸向量旋轉某個角度，我們必須以目標角度的一半來計算。因此，我們構造了下面的四元數：

 

這就是旋轉四元數的一般形式！

四元數插值

在計算機圖形學中使用四元數，其中一個重要原因是四元數非常適合用來表示空間中的旋轉。四元數解決了其他3維空間旋轉算法會遇到的惱人的問題，比如使用歐拉角來表示旋轉操作時會遇到的萬向節鎖問題(Gimbal lock)。

使用四元數，我們可以定義好幾種方案來表示3維空間的轉動插值。第一種是SLERP，它被用來把一個點(物體)從一個朝向平滑地插值到另一個朝向。第二個是SLERP的擴展版本，被稱為SQAD，它被用來處理用一系列朝向定義得到的一條路徑的插值。

SLERP

 

四元數的差

 

四元數的冪運算

接下來的目標是干掉上面四元數的差的分數部分，方法是計算四元數的t次冪(就是上面的那個插值參數t，區間是[0,1])。

四元數的冪運算的一般化公式是：

 

(譯注：上述的2次公式推導，其實省略了很多證明過程。具體可以參考：http://bpeers.com/blog/?itemid=861,http://bpeers.com/blog/?itemid=863,http://bpeers.com/blog/?itemid=866, http://bpeers.com/blog/?itemid=1001 )

對於t = 0，我們有：

 

而對於t = 1，有：

 

2個四元數的分數差

對於角旋轉的插值計算，我們利用q1和q2的角度分數差來調整原始朝向q1：

 

這也就是使用四元數的球面線性插值的一般形式。然而，這不是slerp函數的常用形式。

我們可以應用類似的用於計算向量的球面插值公式，到四元數里。計算向量的球面插值的一般形式定義如下：

 

用圖像表示如下：

這個公式可以原封不動地應用到四元數：

 

注意事項

這個方案有2個問題，必須在實現過程中加以考慮。

第一，如果四元數點積的結果是負值，那么后面的插值就會在4D球面上繞遠路，這並不是我們想要的。為了解決這個問題，我們測試點積的結果，當結果是負值時，我們將2個四元數的其中一個取反，取反它的系數和向量部分，並不會改變它代表的朝向。而經過這一步操作，可以保證這個旋轉走的是最短路徑。

當q1q1和q2q2的角度差非常小，小到導致sinθ=0sinθ=0 時，會出現第二個問題。如果這個情況出現了，當我們除以sinθsinθ時就會得到一個未定義的結果。在這個情況下，我們可以回退去使用q1q1和q2q2的線性插值。

SQUAD

 

總結

除了特別難理解之外，相比矩陣或歐拉角，四元數在表示旋轉這個事情上，擁有一些明顯的優點。

• SLERP和SQUAD，提供了一種使得在朝向之間可以平滑過渡的方法。

• 使用四元數來串聯"旋轉"，要比使用矩陣快得多。

• 對於單位四元數，逆向旋轉可以通過對向量部分取反來實現。而計算一個矩陣的逆矩陣是被認為比較慢的，如果這個矩陣未被標准正交化的話(標准正交矩陣的逆矩陣是它的轉置矩陣)。

• 從四元數轉換到矩陣，要比從歐拉角轉換到矩陣快一點。

• 四元數只需要4個數字(如果旋轉四元數已經單位化了那么只需要3個，實數部分可以在運行時計算)來表示一個旋轉，而矩陣需要至少9個數字。

盡管使用四元數有這么多優點，還是有缺點存在的。

• 因為浮點數的舍入運算錯誤，四元數可能會變無效。不過，這個錯誤可以通過重新單位化四元數來避免。

• 使用四元數最具威懾性的地方，還是四元數的理解難度大。我希望這個問題可以通過閱讀本文來解決。

存在一些已經實現了四元數、並且是正確的的數學程序庫。在我的個人經驗里，我發現GLM(OpenGL Math Library)是一個優秀的數學庫，它的四元數的實現極其不錯。如果你對在你的程序中使用四元數感興趣，那么我會推薦你使用這個數學庫。

下載Demo

我實現了一個小demo來演示一個四元數如何被用來旋轉一個3維物體。這個demo是用Unity3.5.2實現的，你可以免費下載它和閱讀它的腳本。zip文件也包含了一個Windows版的Unity程序。當然你可以自己構建一個Mac的版本。

Understanding Quaternions.zip