實對稱陣是一類常見的矩陣, 它與實二次型和實內積空間上的自伴隨算子有着密切的聯系. 任一實對稱陣 $A$ 均正交相似於對角陣, 即存在正交陣 $P$, 使得 $P'AP=\mathrm{diag\,}\{\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\}$, 這是實對稱陣的一條重要性質, 通常在內積空間理論的框架中加以證明. 然而, 實對稱陣可對角化這一性質可以在引入矩陣可對角化的定義和判定准則后直接加以證明, 也可以利用 Jordan 標准型理論加以證明. 下面給出實對稱陣可對角化的幾種證明, 首先我們來證明兩個簡單的引理.
引理 1 實對稱陣的特征值都是實數.
證明 設 $A$ 為 $n$ 階實對稱陣, $\lambda_0\in\mathbb{C}$ 是 $A$ 的任一特征值, $\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)'\in\mathbb{C}^n$ 是對應的特征向量, 即 $A\alpha=\lambda_0\alpha$. 上式兩邊同時左乘 $\overline{\alpha}'$, 則有 $\overline{\alpha}'A\alpha=\lambda_0\overline{\alpha}'\alpha$. 注意到 $\alpha$ 是非零向量, 故 $\overline{\alpha}'\alpha=\sum_{i=1}^n|a_i|^2>0$. 注意到 $A$ 為實對稱陣, 故 $\overline{(\overline{\alpha}'A\alpha)}'=\overline{\alpha}'A\alpha$, 即 $\overline{\alpha}'A\alpha$ 是一個實數, 從而 $\lambda_0=\overline{\alpha}'A\alpha/\overline{\alpha}'\alpha$ 也是實數. $\Box$
引理 2 設 $A$ 為 $n$ 階實對稱陣, 則 $r(A)=r(A^2)=r(A^3)=\cdots$.
證明 由復旦高代教材的復習題三第 41 題可知 $r(A)=r(A'A)=r(A^2)$, 從而 $r(A)=r(A^{2^m})$, $\forall\,m\geq 1$. 再由矩陣相乘秩相等或變小的性質以及夾逼法可知 $r(A)=r(A^k)$, $\forall\,k\geq 1$. $\Box$
定理 1 實對稱陣可實對角化.
證法一 (有完全的特征向量系) 由引理 1 可設 $A$ 的全體實特征值為 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$, 我們對特征值 $\lambda_1$ 來證明其代數重數等於其幾何重數. 不失一般性, 可設 $\lambda_1=\cdots=\lambda_m$, 但 $\lambda_j\neq \lambda_1\,(\forall\,m<j\leq n)$, 即 $\lambda_1$ 的代數重數為 $m$. 由復旦高代教材的定理 6.1.2 及其后的注可知, 存在非異實矩陣 $P$, 使得 $P^{-1}AP=\begin{pmatrix} B & C \\ 0 & D \end{pmatrix}$, 其中 $B$ 是主對角元為 $\lambda_1$ 的 $m$ 階上三角矩陣, $D$ 是主對角元分別為 $\lambda_{m+1},\cdots,\lambda_n$ 的上三角矩陣, 於是 $$P^{-1}(A-\lambda_1I_n)P=\begin{pmatrix} B-\lambda_1I_m & C \\ 0 & D-\lambda_1I_{n-m} \end{pmatrix}.$$ 注意到 $B-\lambda_1I_m$ 是主對角元全為零的上三角陣, 這是一個冪零陣, 故 $(B-\lambda_1I_m)^m=0$, 從而 $$P^{-1}(A-\lambda_1I_n)^mP=\begin{pmatrix} B-\lambda_1I_m & C \\ 0 & D-\lambda_1I_{n-m} \end{pmatrix}^m=\begin{pmatrix} 0 & * \\ 0 & (D-\lambda_1I_{n-m})^m \end{pmatrix}.$$ 注意到 $(D-\lambda_1I_{n-m})^m$ 是一個主對角元全不為零的上三角陣, 從而是非異陣, 於是 $r((A-\lambda_1I_n)^m)=n-m$. 注意到 $A-\lambda_1I_n$ 為實對稱陣, 再由引理 2 可知, $\lambda_1$ 的幾何重數為 $$n-r(A-\lambda_1I_n)=n-r((A-\lambda_1I_n)^m)=n-(n-m)=m,$$ 即幾何重數等於代數重數. $\Box$
引理 3 設 $A$ 為 $n$ 階實對稱陣, 則 $\mathrm{Ker\,}A\cap\mathrm{Im\,}A=0$ 並且 $\mathrm{Ker\,}A=\mathrm{Ker\,}A^2=\mathrm{Ker\,}A^3=\cdots$.
證明 由引理 2 以及維數公式即得. $\Box$
證法二 (全空間等於特征子空間的直和) 任取 $A$ 的實特征值 $\lambda_0$, 由引理 3 可知, $\mathrm{Ker\,}(A-\lambda_0I_n)=\mathrm{Ker\,}(A-\lambda_0I_n)^2=\cdots$, 再由高代白皮書中例 7.13 的證法一完全相同的討論即得. $\Box$
證法三 (極小多項式無重根) 任取 $A$ 的實特征值 $\lambda_0$, 由引理 3 可知, $\mathrm{Ker\,}(A-\lambda_0I_n)=\mathrm{Ker\,}(A-\lambda_0I_n)^2=\cdots$, 再由高代白皮書中例 7.13 的證法二完全相同的討論即得. $\Box$
證法四 (Jordan 標准型之一) 任取 $A$ 的實特征值 $\lambda_0$, 由引理 3 可知, $\mathrm{Ker\,}(A-\lambda_0I_n)\cap\mathrm{Im\,}(A-\lambda_0I_n)=0$, 再由高代白皮書中例 7.13 的證法三完全相同的討論即得. $\Box$
證法五 (Jordan 標准型之二) 任取 $A$ 的實特征值 $\lambda_0$, 由引理 2 可知, $r(A-\lambda_0I_n)=r((A-\lambda_0)^2)$, 再由高代白皮書中例 7.14 的證法二完全相同的討論即得. $\Box$
證法六 (Jordan 標准型之三) 設 $P$ 為非異實矩陣, 使得 $$P^{-1}AP=J=\mathrm{diag\,}\{J_{r_1}(\lambda_1),\cdots,J_{r_k}(\lambda_k)\}.$$ 用反證法, 若 $A$ 不可對角化, 則不妨設 $r_1>1$. 設 $P'P=(b_{ij})$, 則 $b_{12}=b_{21}$ 並且 $b_{11}$ 是 $P$ 的第一列元素的平方和, 由 $P$ 的非異性可知 $b_{11}>0$. 注意到 $P'AP=P'PJ$ 為對稱陣, 但 $P'PJ$ 的第 $(1,2)$ 元為 $b_{11}+\lambda_1b_{12}$, 第 $(2,1)$ 元為 $\lambda_1b_{21}$, 這兩者不相等, 矛盾. $\Box$
證法七 (內積空間理論) 參考復旦高代教材的定理 9.5.2 和推論 9.5.2. $\Box$
事實上, 我們也可以這樣來看. 由上面的討論可知, 對任一 $n$ 階實對稱陣 $A$, 全空間 $\mathbb{R}^n$ 等於 $A$ 的所有特征子空間的直和. 容易證明: 在 $\mathbb{R}^n$ 的標准內積下, $A$ 的屬於不同特征值的特征向量必正交, 屬於同一特征值的特征向量可以利用 Gram-Schmidt 正交化方法化成兩兩正交的單位特征向量. 因此我們可以找到 $A$ 的 $n$ 個兩兩正交的單位特征向量, 將這些向量拼成矩陣 $P$, 則 $P$ 是一個 $n$ 階正交陣, 使得 $$P'AP=\mathrm{diag\,}\{\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\}.$$ 這就是 $A$ 的正交相似標准型, 它對於深入探討實對稱陣的正定性和半正定性有着重要的作用.
評注 本題是 15 級高代 II 每周一題第 10 題第 1 小問以及 16 級高代 II 每周一題第 6 題. 給出上述證法的同學為: 15級胡曉波（證法五）、楊彥婷（證法五），16級章俊鑫（證法一）、何陶然（類似證法一）、徐鈺倫（證法二）、楊錦文（證法二）、楊釗傑（證法二）、蔣亦凡（證法三）、沈伊南（類似證法六）等.
下面將實對稱陣可對角化的幾種證法進行適當地推廣, 從而不利用酉相似標准型理論也可以直接證明: 實反對稱陣, Hermite 陣, 斜 Hermite 陣, 正交陣, 酉陣, 以及更一般的正規陣均可復對角化. 這是 15 級高代 II 每周一題第 10 題第 2 小問以及 17 級高代 II 每周一題第 7 題第 2 小問. 我們先給出前三個引理的推廣.
引理 4 Hermite 陣的特征值都是實數. 特別地, 斜 Hermite 陣 (實反對稱陣) 的特征值都是 0 或純虛數.
證明 Hermite 陣情形的證明完全類似於實對稱陣情形的證明 (參考引理 1). 設 $A$ 為斜 Hermite 陣, 則 $\mathrm{i}A$ 為 Hermite 陣, 從而 $\mathrm{i}A$ 的特征值都是實數, 於是 $A$ 的特征值都是 0 或純虛數. 實反對稱陣是一種特殊的斜 Hermite 陣, 故結論也成立. $\Box$
引理 5 設 $A$ 為 $n$ 階復正規陣, 則 $r(A)=r(A^2)=r(A^3)=\cdots$.
證明 由復旦高代教材的復習題三第 41 題對應的復數版本可知: 對任意的復方陣 $A$, 有 $r(A)=r(\overline{A'}A)=r(A\overline{A'})$ 成立. 特別地, 若 $A$ 是 Hermite 陣, 則 $r(A)=r(A^2)$, 再仿照引理 2 的證明即得結論. 若 $A$ 是復正規陣, 即 $A\overline{A'}=\overline{A'}A$, 注意到 $A\overline{A'}$ 是 Hermite 陣, 故有 $$r(A^2)=r(A^2\overline{(A^2)'})=r(AA\overline{A'}\overline{A'})=r(A\overline{A'}A\overline{A'})=r((A\overline{A'})^2)=r(A\overline{A'})=r(A),$$ 再仿照引理 2 的證明即得結論. $\Box$
引理 6 設 $A$ 為 $n$ 階復正規陣, 則 $\mathrm{Ker\,}A\cap\mathrm{Im\,}A=0$ 並且 $\mathrm{Ker\,}A=\mathrm{Ker\,}A^2=\mathrm{Ker\,}A^3=\cdots$.
證明 由引理 5 以及維數公式即得. $\Box$
定理 2 復正規陣可復對角化. 特別地, 實反對稱陣, Hermite 陣, 斜 Hermite 陣, 正交陣, 酉陣均可復對角化.
證明 定理 1 的證法 1--證法 5 可以完全平行地改寫用於證明定理 2; 定理 1 的證法 6 適當地修改之后可以證明: 實反對稱陣, Hermite 陣, 斜 Hermite 陣均可復對角化; 我們把具體的證明過程留給感興趣的讀者自行完成. 證法 7 可參考復旦高代教材的定理 9.6.2 和定理 9.6.3. $\Box$