矩陣或線性變換的可對角化判定是高等代數的重要知識點. 由於判定准則多, 技巧性強, 故可對角化判定一直是教學和考試中的難點. 一般來說, 判定 $n$ 維復線性空間 $V$ 上的線性變換 $\varphi$ (或 $n$ 階復矩陣 $A$) 可對角化, 通常有以下六種方法 (參考復旦高代教材的第六章和第七章):
(D1) $\varphi$ 可對角化的充要條件是 $\varphi$ 有 $n$ 個線性無關的特征向量;
(D2) 若 $\varphi$ 有 $n$ 個不同的特征值, 則 $\varphi$ 可對角化;
(D3) $\varphi$ 可對角化的充要條件是 $V$ 是 $\varphi$ 的特征子空間的直和;
(D4) $\varphi$ 可對角化的充要條件是 $\varphi$ 有完全的特征向量系, 即對 $\varphi$ 的任一特征值, 其幾何重數等於其代數重數;
(D5) $\varphi$ 可對角化的充要條件是 $\varphi$ 的極小多項式無重根;
(D6) $\varphi$ 可對角化的充要條件是 $\varphi$ 的 Jordan 塊都是一階的, 或等價地, $\varphi$ 的初等因子都是一次多項式.
本文的主要目的是, 給出可對角化的一些其他的判定准則及其應用. 以下總是以線性變換作為對象來闡述和證明結論, 其對應的矩陣版本, 留給讀者自己補充完整.
首先, 我們來證明一個具有良好性質的線性變換的大型引理.
引理 1 設 $V$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 維線性空間, $\varphi$ 是 $V$ 上的線性變換, 則以下九個結論等價:
(1) $V=\mathrm{Ker}\varphi\oplus\mathrm{Im}\varphi$;
(2) $V=\mathrm{Ker}\varphi+\mathrm{Im}\varphi$;
(3) $\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\varphi=0$;
(4) $\mathrm{Ker}\varphi=\mathrm{Ker}\varphi^2$, 或等價地, $\dim\mathrm{Ker}\varphi=\dim\mathrm{Ker}\varphi^2$;
(5) $\mathrm{Ker}\varphi=\mathrm{Ker}\varphi^2=\mathrm{Ker}\varphi^3=\cdots$, 或等價地, $\dim\mathrm{Ker}\varphi=\dim\mathrm{Ker}\varphi^2=\dim\mathrm{Ker}\varphi^3=\cdots$;
(6) $\mathrm{Im}\varphi=\mathrm{Im}\varphi^2$, 或等價地, $r(\varphi)=r(\varphi^2)$;
(7) $\mathrm{Im}\varphi=\mathrm{Im}\varphi^2=\mathrm{Im}\varphi^3=\cdots$, 或等價地, $r(\varphi)=r(\varphi^2)=r(\varphi^3)=\cdots$;
(8) $\mathrm{Ker}\varphi$ 存在 $\varphi$-不變補空間, 即存在 $\varphi$-不變子空間 $U$, 使得 $V=\mathrm{Ker}\varphi\oplus U$;
(9) $\mathrm{Im}\varphi$ 存在 $\varphi$-不變補空間, 即存在 $\varphi$-不變子空間 $W$, 使得 $V=\mathrm{Im}\varphi\oplus W$.
證明 由直和的定義可知 (1) $\Leftrightarrow$ (2)+(3), 於是 (1) $\Rightarrow$ (2) 和 (1) $\Rightarrow$ (3) 都是顯然的. 根據交和空間維數公式和線性映射維數公式可知 $$\dim(\mathrm{Ker}\varphi+\mathrm{Im}\varphi)=\dim\mathrm{Ker}\varphi+\dim\mathrm{Im}\varphi-\dim(\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\varphi)$$ $$=\dim V-\dim(\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\varphi),$$ 於是 (2) $\Leftrightarrow$ (3) 成立, 從而前三個結論兩兩等價.
(3) $\Rightarrow$ (4): 顯然 $\mathrm{Ker}\varphi\subseteq\mathrm{Ker}\varphi^2$ 成立. 任取 $\alpha\in\mathrm{Ker}\varphi^2$, 則 $\varphi(\alpha)\in\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\varphi=0$, 於是 $\varphi(\alpha)=0$, 即 $\alpha\in\mathrm{Ker}\varphi$, 從而 $\mathrm{Ker}\varphi^2\subseteq\mathrm{Ker}\varphi$ 也成立, 於是 (4) 成立.
(4) $\Rightarrow$ (3): 任取 $\alpha\in\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\varphi$, 則存在 $\beta\in V$, 使得 $\alpha=\varphi(\beta)$, 於是 $0=\varphi(\alpha)=\varphi^2(\beta)$, 即 $\beta\in\mathrm{Ker}\varphi^2=\mathrm{Ker}\varphi$, 從而 $\alpha=\varphi(\beta)=0$, 即 (3) 成立.
(5) $\Rightarrow$ (4) 是顯然的, 下證 (4) $\Rightarrow$ (5): 設 $\mathrm{Ker}\varphi^k=\mathrm{Ker}\varphi^{k+1}$ 已對正整數 $k$ 成立, 先證 $\mathrm{Ker}\varphi^{k+1}=\mathrm{Ker}\varphi^{k+2}$ 也成立, 然后用歸納法即得結論. $\mathrm{Ker}\varphi^{k+1}\subseteq\mathrm{Ker}\varphi^{k+2}$ 是顯然的. 任取 $\alpha\in\mathrm{Ker}\varphi^{k+2}$, 即 $0=\varphi^{k+2}(\alpha)=\varphi^{k+1}(\varphi(\alpha))$, 於是 $\varphi(\alpha)\in\mathrm{Ker}\varphi^{k+1}=\mathrm{Ker}\varphi^k$, 從而 $\varphi^{k+1}(\alpha)=\varphi^k(\varphi(\alpha))=0$, 即 $\alpha\in\mathrm{Ker}\varphi^{k+1}$, 於是 $\mathrm{Ker}\varphi^{k+2}\subseteq\mathrm{Ker}\varphi^{k+1}$ 也成立.
(3) $\Leftrightarrow$ (6): 考慮 $\varphi$ 在不變子空間 $\mathrm{Im}\varphi$ 上的限制變換 $\varphi|_{\mathrm{Im}\varphi}:\mathrm{Im}\varphi\to\mathrm{Im}\varphi$, 由限制的定義可知它的核等於 $\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\varphi$, 它的像等於 $\mathrm{Im}\varphi^2$. 由於有限維線性空間上的線性變換是單射當且僅當它是滿射, 當且僅當它是同構, 故 (3) $\Leftrightarrow$ (6) 成立.
(7) $\Rightarrow$ (6) 是顯然的, 下證 (6) $\Rightarrow$ (7): 設 $\mathrm{Im}\varphi^k=\mathrm{Im}\varphi^{k+1}$ 已對正整數 $k$ 成立, 先證 $\mathrm{Im}\varphi^{k+1}=\mathrm{Im}\varphi^{k+2}$ 也成立, 然后用歸納法即得結論. $\mathrm{Im}\varphi^{k+2}\subseteq\mathrm{Im}\varphi^{k+1}$ 是顯然的. 任取 $\alpha\in\mathrm{Im}\varphi^{k+1}$, 即存在 $\beta\in V$, 使得 $\alpha=\varphi^{k+1}(\beta)$. 由於 $\varphi^k(\beta)\in\mathrm{Im}\varphi^k=\mathrm{Im}\varphi^{k+1}$, 故存在 $\gamma\in V$, 使得 $\varphi^k(\beta)=\varphi^{k+1}(\gamma)$, 於是 $\alpha=\varphi^{k+1}(\beta)=\varphi(\varphi^k(\beta))=\varphi(\varphi^{k+1}(\gamma))=\varphi^{k+2}(\gamma)\in\mathrm{Im}\varphi^{k+2}$, 從而 $\mathrm{Im}\varphi^{k+1}\subseteq\mathrm{Im}\varphi^{k+2}$ 也成立.
(1) $\Rightarrow$ (8) 是顯然的, 下證 (8) $\Rightarrow$ (1). 我們先證 $\mathrm{Im}\varphi\subseteq U$: 任取 $\varphi(v)\in\mathrm{Im}\varphi$, 由直和分解可設 $v=v_1+u$, 其中 $v_1\in\mathrm{Ker}\varphi$, $u\in U$, 則由 $U$ 的 $\varphi$-不變性可得 $\varphi(v)=\varphi(v_1)+\varphi(u)=\varphi(u)\in U$. 考慮不等式 $$\dim V=\dim(\mathrm{Ker}\varphi\oplus U)=\dim\mathrm{Ker}\varphi+\dim U$$ $$\geq\dim\mathrm{Ker}\varphi+\dim\mathrm{Im}\varphi=\dim V,$$ 從而只能是 $U=\mathrm{Im}\varphi$, 於是 (1) 成立.
(1) $\Rightarrow$ (9) 是顯然的, 下證 (9) $\Rightarrow$ (1). 我們先證 $W\subseteq\mathrm{Ker}\varphi$: 任取 $w\in W$, 則由 $W$ 的 $\varphi$-不變性可得 $\varphi(w)\in\mathrm{Im}\varphi\cap W=0$, 即有 $w\in\mathrm{Ker}\varphi$. 考慮不等式 $$\dim V=\dim(\mathrm{Im}\varphi\oplus W)=\dim\mathrm{Im}\varphi+\dim W$$ $$\leq\dim\mathrm{Im}\varphi+\dim\mathrm{Ker}\varphi=\dim V,$$ 從而只能是 $W=\mathrm{Ker}\varphi$, 於是 (1) 成立. $\Box$
注 1 引理 1 是 15 級高等代數 I 每周一題第 10 題, 其證明思路在高代白皮書的例 4.32, 例 4.33, 例 4.34 和例 7.13 中均有所涉及.
有了引理 1 做鋪墊, 我們可以證明一系列的可對角化判定准則.
定理 1 設 $\varphi$ 是 $n$ 維復線性空間 $V$ 上的線性變換, 則 $\varphi$ 可對角化的充要條件是對 $\varphi$ 的任一特征值 $\lambda_0$, 下列條件之一成立:
(E1) $V=\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_0I_V)\oplus\mathrm{Im}(\varphi-\lambda_0I_V)$;
(E2) $V=\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_0I_V)+\mathrm{Im}(\varphi-\lambda_0I_V)$;
(E3) $\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_0I_V)\cap\mathrm{Im}(\varphi-\lambda_0I_V)=0$;
(E4) $\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_0I_V)=\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_0I_V)^2$, 或等價地, $\dim\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_0I_V)=\dim\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_0I_V)^2$;
(E5) $\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_0I_V)=\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_0I_V)^2=\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_0I_V)^3=\cdots$, 或等價地, $\dim\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_0I_V)=\dim\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_0I_V)^2=\dim\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_0I_V)^3=\cdots$;
(E6) $\mathrm{Im}(\varphi-\lambda_0I_V)=\mathrm{Im}(\varphi-\lambda_0I_V)^2$, 或等價地, $r(\varphi-\lambda_0I_V)=r((\varphi-\lambda_0I_V)^2)$;
(E7) $\mathrm{Im}(\varphi-\lambda_0I_V)=\mathrm{Im}(\varphi-\lambda_0I_V)^2=\mathrm{Im}(\varphi-\lambda_0I_V)^3=\cdots$, 或等價地, $r(\varphi-\lambda_0I_V)=r((\varphi-\lambda_0I_V)^2)=r((\varphi-\lambda_0I_V)^3)=\cdots$;
(E8) $\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_0I_V)$ 存在 $\varphi$-不變補空間, 即存在 $\varphi$-不變子空間 $U$, 使得 $V=\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_0I_V)\oplus U$;
(E9) $\mathrm{Im}(\varphi-\lambda_0I_V)$ 存在 $\varphi$-不變補空間, 即存在 $\varphi$-不變子空間 $W$, 使得 $V=\mathrm{Im}(\varphi-\lambda_0I_V)\oplus W$.
證明 由引理 1 可知, 無論是充分性還是必要性, 我們只要選取 (E1)--(E9) 中的一個等價條件來證明即可.
必要性 設 $\varphi$ 可對角化, 即存在 $V$ 的一組基 $\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$, 使得 $\varphi$ 在這組基下的表示矩陣為對角陣 $\mathrm{diag}\{\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\}$, 不妨設 $\lambda_1=\cdots=\lambda_r=\lambda_0$, $\lambda_j\neq\lambda_0\,(r<j\leq n)$. 由表示矩陣的定義可知 $\varphi(e_i)=\lambda_ie_i\,(1\leq i\leq n)$, 通過簡單的驗證可得 $\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_0I_V)=L(e_1,\cdots,e_r)$, $\mathrm{Im}(\varphi-\lambda_0I_V)=L(e_{r+1},\cdots,e_n)$, 於是 (E1) 成立.
充分性 對應於不同的等價條件, 我們給出幾種不同的證法.
從 (E3) 出發: 用反證法, 設 $\varphi$ 不可對角化, 則由 (D6) 可知, 存在 $V$ 的一組基 $\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$, 使得 $\varphi$ 在這組基下的表示矩陣為 Jordan 標准型 $\mathrm{diag}\{J_{r_1}(\lambda_1),J_{r_2}(\lambda_2),\cdots,J_{r_k}(\lambda_k)\}$, 且至少有一個 Jordan 塊的階數大於 1. 不妨設 $r_1>1$, 則由表示矩陣的定義可知 $$\varphi(e_1)=\lambda_1e_1,\,\,\,\,\varphi(e_2)=e_1+\lambda_1e_2.$$ 於是 $(\varphi-\lambda_1I_V)(e_1)=0$, $(\varphi-\lambda_1I_V)(e_2)=e_1$, 從而 $$0\neq e_1\in\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_1I_V)\cap\mathrm{Im}(\varphi-\lambda_1I_V),$$ 這與已知矛盾.
從 (E5) 出發: 由 $\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_0I_V)=\cdots=\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_0I_V)^n$ 可知, $\lambda_0$ 的根子空間等於其特征子空間. 因為全空間 $V$ 可以分解為根子空間的直和, 故全空間 $V$ 也是特征子空間的直和, 從而由判定准則 (D3) 即得結論.
從 (E5) 出發: 由 $\dim\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_0I_V)=\cdots=\dim\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_0I_V)^n$ 可知, $\lambda_0$ 的幾何重數 $\dim\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_0I_V)$ 等於其代數重數 $\dim\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_0I_V)^n$, 從而由判定准則 (D4) 即得結論.
從 (E5) 出發: 設 $\varphi$ 的全體不同特征值為 $\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_k$, $\varphi$ 的特征多項式為 $$f(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{m_1}(\lambda-\lambda_2)^{m_2}\cdots(\lambda-\lambda_k)^{m_k},$$ 則對任意的 $\alpha\in V$, 由 Cayley-Hamilton 定理可知 $$(\varphi-\lambda_1I_V)^{m_1}(\varphi-\lambda_2I_V)^{m_2}\cdots(\varphi-\lambda_kI_V)^{m_k}(\alpha)=0,$$ 即 $(\varphi-\lambda_2I_V)^{m_2}\cdots(\varphi-\lambda_kI_V)^{m_k}(\alpha)\in\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_1I_V)^{m_1}=\mathrm{Ker}(\varphi-\lambda_1I_V)$, 從而 $$(\varphi-\lambda_1I_V)(\varphi-\lambda_2I_V)^{m_2}\cdots(\varphi-\lambda_kI_V)^{m_k}(\alpha)=0.$$ 不斷這樣做下去, 最終可得對任意的 $\alpha\in V$, 總有 $$(\varphi-\lambda_1I_V)(\varphi-\lambda_2I_V)\cdots(\varphi-\lambda_kI_V)(\alpha)=0,$$ 即 $\varphi$ 適合多項式 $g(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)(\lambda-\lambda_2)\cdots(\lambda-\lambda_k)$, 從而 $\varphi$ 的極小多項式 $m(\lambda)\mid g(\lambda)$. 又由極小多項式的性質可知 $g(\lambda)\mid m(\lambda)$, 於是 $m(\lambda)=g(\lambda)$ 無重根, 從而由判定准則 (D5) 即得結論.
從 (E6) 出發: 用反證法, 設 $\varphi$ 不可對角化, 則由 (D6) 可知, $\varphi$ 的 Jordan 標准型 $J=\mathrm{diag}\{J_{r_1}(\lambda_1),J_{r_2}(\lambda_2),\cdots,J_{r_k}(\lambda_k)\}$ 中至少有一個 Jordan 塊的階數大於 1. 不妨設 $r_1>1$, 則有 $r(J_{r_1}(\lambda_1)-\lambda_1I_{r_1})=r_1-1$, 而 $r((J_{r_1}(\lambda_1)-\lambda_1I_{r_1})^2)=r_1-2$. 由矩陣秩的基本不等式可知, $r(J-\lambda_1I_n)>r((J-\lambda_1I_n)^2)$, 即有 $r(\varphi-\lambda_1I_V)>r((\varphi-\lambda_1I_V)^2)$, 這與已知矛盾. $\Box$
推論 1 設 $\varphi$ 是 $n$ 維復線性空間 $V$ 上的線性變換, 則 $\varphi$ 可對角化的充要條件是 $V$ 的任一 $\varphi$-不變子空間都存在 $\varphi$-不變補空間, 即對任一 $\varphi$-不變子空間 $U$, 都存在 $\varphi$-不變子空間 $W$, 使得 $V=U\oplus W$.
證明 充分性可由定理 1 的 (E8) 或 (E9) 得到. 再證必要性, 因為 $\varphi$ 可對角化, 故由 (D1) 可知, 存在 $V$ 的一組基 $\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$, 它們都是 $\varphi$ 的特征向量. 由高代教材的推論 7.6.3 可知, $\varphi$ 在不變子空間 $U$ 上的限制 $\varphi|_U$ 也可對角化, 故同理存在 $U$ 的一組基 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_r\}$, 它們也都是 $\varphi$ 的特征向量. 由基擴張定理的證明可知, 我們可從 $\{e_1,e_2,\cdots,e_n\}$ 中取出 $n-r$ 個向量, 不妨設為 $e_{r+1},\cdots,e_n$, 使得 $\{\alpha_1,\cdots,\alpha_r,e_{r+1},\cdots,e_n\}$ 成為 $V$ 的一組新基. 令 $W=L(e_{r+1},\cdots,e_n)$, 則 $W$ 是 $\varphi$-不變子空間且滿足 $V=U\oplus W$. $\Box$
推論 2 設 $\varphi$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上 $n$ 維線性空間 $V$ 上的線性變換 (或 $A$ 是數域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 階方陣), 並且 $\varphi$ (或 $A$) 的所有特征值都在 $\mathbb{K}$ 中, 則 $\varphi$ (或 $A$) 可對角化的判定准則 (D1)--(D6) 以及 (E1)--(E9) 在數域 $\mathbb{K}$ 上也成立.
證明 與復數域 $\mathbb{C}$ 上的證明完全類似, 具體細節留給讀者自己完成. $\Box$
注 2 定理 1 在復旦大學高等代數習題課教學視頻 [3] 的第 16 講“可對角化的判定 (下)”中作為例 9 出現, 它是高代白皮書的例 7.13 和例 7.14 的自然推廣. 推論 1 是高代白皮書的例 7.15.
接下去, 我們將不利用酉相似標准型理論和正交相似標准型理論, 而利用定理 1 直接證明復正規陣可對角化以及實對稱陣可實對角化這兩個重要結論.
引理 2 設 $A$ 為 $m\times n$ 階復矩陣, 則 $r(\overline{A}'A)=r(A\overline{A}')=r(A)$.
證明 這是高代白皮書的例 3.72 的復版本, 其證明完全類似. $\Box$
引理 3 設 $A$ 為 $n$ 階復正規陣, 即滿足 $A\overline{A}'=\overline{A}'A$, 則 $r(A)=r(A^2)$.
證明 若 $A$ 是 Hermite 陣, 即滿足 $\overline{A}'=A$, 則由引理 2 可知 $r(A)=r(A^2)$. 若 $A$ 是復正規陣, 注意到 $A\overline{A}'$ 是 Hermite 陣, 則由引理 2 可得 $$r(A^2)=r(A^2\overline{A^2}')=r(AA\overline{A}'\overline{A}')=r(A\overline{A}'A\overline{A}')=r((A\overline{A}')^2)=r(A\overline{A}')=r(A),$$ 結論得證. $\Box$
引理 4 設 $A$ 為 $n$ 階復正規陣, $\lambda_0$ 是 $A$ 的特征值, 則 $A-\lambda_0I_n$ 也是復正規陣.
證明 由復正規陣的定義驗證即得. $\Box$
推論 3 復正規陣可對角化. 特別地, 實對稱陣, 實反對稱陣, Hermite 陣, 斜 Hermite 陣, 正交陣, 酉陣均可復對角化.
證明 由引理 4, 引理 3 以及定理 1 (E6) 即得結論. $\Box$
引理 5 實對稱陣的特征值全為實數.
證明 設 $A$ 為 $n$ 階實對稱陣, $\lambda_0\in\mathbb{C}$ 是 $A$ 的任一特征值, $\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n)'\in\mathbb{C}^n$ 是對應的特征向量, 即 $A\alpha=\lambda_0\alpha$. 上式兩邊同時左乘 $\overline{\alpha}'$, 則有 $\overline{\alpha}'A\alpha=\lambda_0\overline{\alpha}'\alpha$. 注意到 $\alpha$ 是非零向量, 故 $\overline{\alpha}'\alpha=\sum\limits_{i=1}^n|a_i|^2>0$. 注意到 $A$ 為實對稱陣, 故 $\overline{(\overline{\alpha}'A\alpha)}'=\overline{\alpha}'A\alpha$, 即 $\overline{\alpha}'A\alpha$ 是一個實數, 從而 $\lambda_0=\dfrac{\overline{\alpha}'A\alpha}{\overline{\alpha}'\alpha}$ 也是實數. $\Box$
推論 4 實對稱陣在實數域上可對角化.
證法 1 設 $A$ 為實對稱陣, 由高代白皮書的例 3.72 可得 $r(A)=r(A^2)$. 再由引理 5 可知, $A$ 的特征值全為實數, 於是根據推論 2 可得 $A$ 在實數域上可對角化.
證法 2 由推論 3 可知實對稱陣可復對角化, 又其特征值全為實數, 故實對稱陣復相似於實對角陣. 再由高代教材的推論 7.3.4 (相似關系在基域擴張下的不變性) 可知, 實對稱陣可實對角化. $\Box$
注 3 推論 3 和推論 4 是教學博文 [4] 的主要結果, 其證明的關鍵點也是本文的引理 3 以及定理 1 的類似思想.
我們將推論 3 和推論 4 合並起來, 補充如下的可對角化判定准則:
(D7) 若復方陣相似於復正規陣, 則可對角化; 若實方陣實相似於實對稱陣, 則可實對角化.
我們先給出一個相似於復正規陣的例子.
例 1 (白皮書的例 6.33) 設 $n$ 階復方陣 $A$ 可對角化, 證明: 矩陣 $\begin{pmatrix} A & A^2 \\ A^2 & A \\ \end{pmatrix}$ 也可對角化.
證明 設 $P$ 為非異陣, 使得 $P^{-1}AP=\Lambda$ 為對角陣. 考慮相似變換 $$\begin{pmatrix} P^{-1} & 0 \\ 0 & P^{-1} \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A & A^2 \\ A^2 & A \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} P & 0 \\ 0 & P \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \Lambda & \Lambda^2 \\ \Lambda^2 & \Lambda \\ \end{pmatrix},$$ 通過簡單的驗證可知, $\begin{pmatrix} \Lambda & \Lambda^2 \\ \Lambda^2 & \Lambda \\ \end{pmatrix}$ 是復正規陣, 故由判定准則 (D7) 可知結論成立. $\Box$
最后, 我們給出一個相似於實對稱陣的例子, 更多的例題請參考高代白皮書的例 9.63--例 9.65.
例 2 (白皮書的例 6.40) 設 $a,b,c$ 為復數且 $bc\neq 0$, 證明下列三對角矩陣可對角化: $$T(a,b,c)=\begin{pmatrix} a & b & & & & \\ c & a & b & & & \\ & c & a & b & & \\ & & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & & c & a & b \\ & & & & c & a \\ \end{pmatrix}.$$
證明 要證 $T(a,b,c)$ 可對角化, 只要證 $T(a,b,c)-aI_n=T(0,b,c)$ 可對角化即可, 故不妨設 $a=0$. 由於 $bc\neq 0$, 故對 $T(0,b,c)$ 實施如下的相似初等變換: 依次將第 $i+1$ 行乘以 $\sqrt{\bigg(\dfrac{b}{c}\bigg)^i}$, 再將第 $i+1$ 列乘以 $\sqrt{\bigg(\dfrac{c}{b}\bigg)^i}$ $(1\leq i\leq n-1)$, 可得 $T(0,b,c)$ 復相似於 $T(0,\sqrt{bc},\sqrt{bc})=\sqrt{bc}\cdot T(0,1,1)$. 因為 $T(0,1,1)$ 是實對稱陣, 故可對角化, 從而 $T(a,b,c)$ 也可對角化. $\Box$
參考文獻
[1] 高代教材: 姚慕生, 吳泉水, 謝啟鴻 編著, 高等代數學 (第三版), 復旦大學出版社, 2014.
[2] 高代白皮書: 姚慕生, 謝啟鴻 編著, 學習方法指導書: 高等代數 (第三版), 復旦大學出版社, 2015.
[3] 謝啟鴻, 復旦大學高等代數習題課教學視頻, https://www.bilibili.com/video/av90771191/
[4] 謝啟鴻, 實對稱陣可對角化的幾種證明及其推廣, https://www.cnblogs.com/torsor/p/6785447.html