一.問題描敘
給定n個矩陣{A1，A2，……，An},其中Ai與Ai+1是可乘的，i=1，2，……，n-1。
例如：
計算三個矩陣連乘{A1，A2，A3}；維數分別為10*100 , 100*5 , 5*50
按此順序計算需要的次數（（A1*A2）*A3）:10X100X5+10X5X50=7500次
按此順序計算需要的次數（A1*（A2*A3））:10X5X50+10X100X50=75000次
所以要解決的問題是：如何確定矩陣連乘積A1A2，……An的計算次序，使得按此計算次序計算矩陣連乘積需要的數乘次數達到最小化。
二.問題分析
由於矩陣乘法滿足結合律，所以計算矩陣連乘的連乘積可以與許多不同的計算計算次序，這種計算次序可以用加括號的方式來確定。若一個矩陣連乘積的計算次序完全確定，也就是說連乘積已完全加括號，那么可以依此次序反復調用2個矩陣相乘的標准算法計算出矩陣連乘積。
完全加括號的矩陣連乘積可遞歸地定義為：
（1）.單個矩陣是完全加括號的；
（2）.矩陣連乘積A是完全加括號的，則A可以表示為2個完全加括號的矩陣連乘積B和C的乘積並加括號，及A=（BC）;
舉個例子，矩陣連乘積A1A2A3A4A5，可以有5種不同的完全加括號方式：
(A1(A2(A3A4))),(A1((A2A3)A4)),((A1A2)(A3A4)),((A1(A2A3))A4),(((A1A2)A3)A4)
每一種完全加括號的方式對應一種矩陣連乘積的計算次序，而矩陣連乘積的計算次序與其計算量有密切的關系，即與矩陣的行和列有關。
補充一下數學知識，矩陣A與矩陣B可乘的條件為矩陣A的列數等於矩陣B的行數，例如，若A是一個p*q的矩陣，B是一個q*r的矩陣，則其乘積C=AB是一個p*r的矩陣。
三.動態規划解決矩陣連乘積的最優計算次序問題
或許你對動態規划有點陌生，那簡單的講講什么叫動態規划吧。
動態規划算法與分治法類似，其基本思想也就是將待求解的問題分解成若干個子問題，先求解子問題，然后從這些子問題的解得到原問題的解，簡單概括為自頂向下分解，自底向上求解。與分治法不同的是，適合於用動態規划法求解的問題，經分解得到的子問題往往不是相互獨立的，換句話說，就是前面解決過的子問題，在后面的子問題中又碰到了前面解決過的子問題，子問題之間是有聯系的。如果用分治法，有些同樣的子問題會被重復計算幾次，這樣就很浪費時間了。所以動態規划是為了解決分治法的弊端而提出的，動態規划的基本思想就是，用一個表來記錄所有已經解決過的子問題的答案，不管該子問題在以后是否會被用到，只要它被計算過，就將其結果填入表中，以后碰到同樣的子問題，就可以從表中直接調用該子問題的答案，而不需要再計算一次。具體的動態規划的算法多種多樣，但他們都具有相同的填表式。
順便說一下動態規划的適用場合，一般適用於解最優化問題，例如矩陣連乘問題、最長公共子序列、背包問題等等，通常動態規划的設計有4個步驟，結合矩陣連乘分析：
（1）.找出最優解的性質，並刻畫其結構特征
這是設計動態規划算法的第一步，我們可以將矩陣連乘積AiAi+1……Aj記為A[i：j]。問題就是計算A[1：n]的最優計算次序。設這個計算次序在矩陣Ak和Ak+1之間將矩陣鏈斷開，1<=k<n,使其完全加括號方式為（（A1……Ak）（AK+1……An）），這樣就將原問題分解為兩個子問題，，按此計算次序，計算A[1：n]的計算量就等於計算A[1：k]的計算量加上A[k+1：n]的計算量，再加上A[1：k]和A[k+1:n]相乘的計算量。計算A[1：n]的最優次序包含了計算A[1：k]和A[k+1：n]這兩個子問題的最優計算次序，以此類推，將A[1：k]和A[k+1：n]遞歸的分解下去，求出每個子問題的最優解，子問題的最優解相乘便得到原問題的最優解。
（2）.遞歸地定義最優值
這是動態規划的第二步，對於矩陣連乘積的最優計算次序的問題，設計算A[i：j]，1<=i<=j<=n,所需要的最小數乘次數為m[i][j]，則原問題的最優值為m[1][n]。
當i=j時，A[i：j]=Ai為單一的矩陣，則無需計算，所以m[i][j]=0，i=j=1，2，……，n。即對應的二維表對角線上的值全為0。
當i<j時，這就需要用步驟（1）的最優子結構性質來計算m[i][j]。若計算A[i:j]的最優次序在Ak和Ak+1之間斷開，i<=k<j,則m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1*pk*pj,k的位置只有j-i種可能，即k屬於集合{i，i+1，……，j-1}，所以k是這j-i個位置中使計算量達到最小的那個位置。
所以m[i][j]可以遞歸地定義為 m[i][j]={ 0 i=j
min{m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1*pk*pj } i<j ,i<=k<j }
將對應於m[i][j]的斷開位置k記為s[i][j]，在計算出最優值m[i][j]后，可遞歸地由s[i][j]構造出相應的最優解
（3）.以自底向上的方式計算出最優值
動態規划的一大好處是，在計算的過程中，將已解決的子問題答案保存起來，每個子問題只計算一次，而后面的子問題需要用到前面已經解決的子問題，就可以從表中簡單差出來，從而避免了大量的重復計算
動態規划算法 這里的p[],m[][],s[][]都為全局變量
1 void matrixChain(){ 2 for(int i=1;i<=n;i++)m[i][i]=0; 3 4 for(int r=2;r<=n;r++)//對角線循環 5 for(int i=1;i<=n-r+1;i++){//行循環 6 int j = r+i-1;//列的控制 7 //找m[i][j]的最小值，先初始化一下，令k=i 8 m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j]; 9 s[i][j]=i; 10 //k從i+1到j-1循環找m[i][j]的最小值 11 for(int k = i+1;k<j;k++){ 12 int temp=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]; 13 if(temp<m[i][j]){ 14 m[i][j]=temp; 15 //s[][]用來記錄在子序列i-j段中，在k位置處 16 斷開能得到最優解 17 s[i][j]=k; 18 } 19 } 20 } 21 }
以A1A2A3A4A5A6為例，其中各矩陣的維數分別為：
A1：30*35， A2：35*15， A3：15*5， A4：5*10， A5：10*20， A6：20*25
動態規划算法matrixchain計算m[ i ][ j ]先后次序如圖所示，計算結果為m[ i ][ j ]和s[ i ][ j ]，其中第0行和第0列沒有使用。
計算次序 m[i][j] s[i][j]
例如，在計算m[2][5]時，依遞歸式有
所以m[2][5] = 7125，且k=3，因此，s[2][5]=3。
（4）.根據計算最優值時得到的信息（及存放最優值的表格），構造最優解
動態規划算法的第四布是構造問題的最優解。算法matrixchain只是計算出了最優值，並未給出最優解。也就是說，通過matrixchain的計算，只是到最少數乘次數，還不知道具體應按什么次序來做矩陣乘法才能達到最少的數乘次數。
下面一段小程序按matrixchain計算出的斷點矩陣s指示的加括號方式輸出計算A[i：j]的最優計算次序
void printmatrix(int leftindex,int rightindex)//遞歸打印輸出 { if(leftindex==rightindex) printf("A%d",leftindex); else{ printf("("); printmatrix(leftindex,leftindex+s[leftindex][rightindex]); printmatrix(leftindex+s[leftindex][rightindex]+1,rightindex); printf(")"); }
到此，矩陣連乘問題就解決完了。
四.源代碼展示及運算結果
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <limits.h> #define MAX 50 int p[MAX+1]; //存儲各個矩陣的列數以及第一個矩陣的行數（作為第0個矩陣的列數） int m[MAX][MAX]; //m[i][j]存儲子問題的最優解 int s[MAX][MAX]; //s[i][j]存儲子問題的最佳分割點 int n; //矩陣個數 void matrix(int n,int m[][n],int s[][n],int p[]) { int i,j,k; for(i=0;i<n;i++) m[i][i]=0; //最小子問題僅含有一個矩陣 ，對角線全為0 for(i=2;i<=n;i++) for(j=0;j<n-i+1;j++) { m[j][j+i-1]=INT_MAX; for(k=0;k<i-1;k++) { //k代表分割點 if(m[j][j+i-1]>m[j][j+k]+m[j+k+1][j+i-1]+p[j]*p[j+k+1]*p[j+i]) { m[j][j+i-1]=m[j][j+k]+m[j+k+1][j+i-1]+p[j]*p[j+k+1]*p[j+i]; s[j][j+i-1]=k; //記錄分割點 } } } } void printmatrix(int leftindex,int rightindex)//遞歸打印輸出 { if(leftindex==rightindex) printf("A%d",leftindex); else{ printf("("); printmatrix(leftindex,leftindex+s[leftindex][rightindex]); printmatrix(leftindex+s[leftindex][rightindex]+1,rightindex); printf(")"); } } int main() { int i; printf("請輸入矩陣相乘的矩陣個數"); scanf("%d",&n); printf("請依次輸入矩陣的行和烈（如A*B，A=20*30，B=30*40，即輸入20 30 40)\n") ; for(i=0;i<n+1;i++) { scanf("%d",&p[i]); } matrix(n,m,s,p); printf("矩陣連乘最小次數\t%d\n",m[0][n-1]); printmatrix(0,n-1); printf("\n"); return 0; }
運行結果
