算法分析與設計——矩陣連乘問題

問題描述：

　　給定n個矩陣：A1,A2,...,An，其中Ai與Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。確定計算矩陣連乘積的計算次序，使得依此次序計算矩陣連乘積需要的數乘次數最少。輸入數據為矩陣個數和每個矩陣規模，輸出結果為計算矩陣連乘積的計算次序和最少數乘次數。

 問題解析：

　　由於矩陣乘法滿足結合律，故計算矩陣的連乘積可以有許多不同的計算次序。這種計算次序可以用加括號的方式來確定。若一個矩陣連乘積的計算次序完全確定，也就是說該連乘積已完全加括號，則可以依此次序反復調用2個矩陣相乘的標准算法計算出矩陣連乘積。

       完全加括號的矩陣連乘積可遞歸地定義為：

     （1）單個矩陣是完全加括號的；

     （2）矩陣連乘積A是完全加括號的，則A可表示為2個完全加括號的矩陣連乘積B和C的乘積並加括號，即A=(BC)

       例如，矩陣連乘積A1A2A3A4有5種不同的完全加括號的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每一種完全加括號的方式對應於一個矩陣連乘積的計算次序，這決定着作乘積所需要的計算量。

      看下面一個例子，計算三個矩陣連乘{A1，A2，A3}；維數分別為10*100 , 100*5 , 5*50 按此順序計算需要的次((A1*A2*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此順序計算需要的次數(A1*(A2*A3)):10*5*50+10*100*50=75000次

      所以問題是：如何確定運算順序，可以使計算量達到最小化。      

 

算法思路：

      例：設要計算矩陣連乘乘積A1A2A3A4A5A6，其中各矩陣的維數分別是：

      A1：30*35;     A2：35*15;     A3：15*5;     A4：5*10;     A5：10*20;     A6：20*25 

 

      遞推關系：

      設計算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少數乘次數m[i,j]，則原問題的最優值為m[1,n]。

      當i=j時，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n
      當i<j時，若A[i:j]的最優次序在Ak和Ak+1之間斷開，i<=k<j,則：m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1*pk*pj。由於在計算是並不知道斷開點k的位置，所以k還未定。不過k的位置只有j-i個可能。因此，k是這j-i個位置使計算量達到最小的那個位置。

      綜上，有遞推關系如下：

          

　　計算最優值：

     用動態規划算法解此問題時，可依據其遞歸式以自底向上的方式進行計算。在計算過程中，保存以解決的子問題的答案，每個子問題只計算一次，而在后面用到時只需要簡單查一下，避免了大量的重復計算，最后得到了多項式時間的算法。

　　代碼如下：

void matrixChain(int p[],int m[][],int s[][])
//p用來記錄矩陣，m[i][j]表示第i個矩陣到第j個矩陣的最優解，s[][]記錄從哪里斷開可以得到最優解
{
    int n=len-1;
    for(int i=1; i<=n; i++)//初始化數組
        m[i][j]=0;
    for(int r=2; r<=n; r++)//對角線循環
    {
        for(int i=1; i<=n-r+1; i++) //行循環
        {
            int j=i+r-1;//列的控制
            m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//找m[i][j]的最小值，初始化使k=i;
            s[i][j]=i;
            for(int k=i+1; k<j; k++)
            {
                int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
                if(t<m[i][j])
                {
                    s[i][j]=k;//在k位置斷開得到最優解
                    m[i][j]=t;
                }
            }
        }
    }
}

  
構造最優解：

      若將對應m[i][j]的斷開位置k記為s[i][j]，在計算出最優值m[i][j]后，可遞歸地由s[i][j]構造出相應的最優解。s[i][j]中的數表明，計算矩陣鏈A[i:j]的最佳方式應在矩陣Ak和Ak+1之間斷開，即最優的加括號方式應為(A[i:k])(A[k+1:j)。因此，從s[1][n]記錄的信息可知計算A[1:n]的最優加括號方式為(A[1:s[1][n]])(A[s[1][n]+1:n])，進一步遞推，A[1:s[1][n]]的最優加括號方式為(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理可以確定A[s[1][n]+1:n]的最優加括號方式在s[s[1][n]+1][n]處斷開...照此遞推下去，最終可以確定A[1:n]的最優完全加括號方式，及構造出問題的一個最優解。

代碼如下：

 

void traceback(int s[][],int i,int j)
{
    if(i==j)
        retiurn;
    traceback(s,i,s[i][j]);
    traceback(s,s[i][j]+1,j);
    cout<<"Multiply A"<<i<<","<<s[i][j]<<"and A"<<s[i][j]+1<<","<<j<<endl;
}

 

完整代碼如下：

#include<stdio.h>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<stdlib.h>
using namespace std;
const int MAX = 100;
int n;
int p[MAX+1],m[MAX][MAX],s[MAX][MAX];
//p用來記錄矩陣，m[i][j]表示第i個矩陣到第j個矩陣的最優解，s[][]記錄從哪里斷開可以得到最優解
void matrixChain()
{
    for(int i=1; i<=n; i++)//初始化數組
        m[i][i]=0;
    for(int r=2; r<=n; r++)//對角線循環
    {
        for(int i=1; i<=n-r+1; i++) //行循環
        {
            int j=i+r-1;//列的控制
            m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];//找m[i][j]的最小值，初始化使k=i;
            s[i][j]=i;
            for(int k=i+1; k<j; k++)
            {
                int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
                if(t<m[i][j])
                {
                    s[i][j]=k;//在k位置斷開得到最優解
                    m[i][j]=t;
                }
            }
        }
    }
}
void traceback(int i,int j)
{
    if(i==j)
        return;
    traceback(i,s[i][j]);
    traceback(s[i][j]+1,j);
    cout<<"Multiply A"<<i<<","<<s[i][j]<<"and A"<<s[i][j]+1<<","<<j<<endl;
}
int main()
{
    cin>>n;
    for(int i=0; i<=n; i++)
        cin>>p[i];
    matrixChain();
    traceback(1,n);
    cout<<m[1][n]<<endl;
    return 0;
}

輸出結果如下：