算法復習周------“動態規划之‘矩陣連乘’”

問題描述：  設有三個矩陣 A[a][b]、B[b][c]、C[c][d]。這個時候我們將ABC排列並相乘：A*B*C，這個時候我們會發現我們有兩種不同的矩陣乘法次序——（A*B）*C與A*（B*C）。這個時候我們若要求解矩陣連乘的數乘次序——我們可以分為兩個情況

①（A*B）*C——這個時候A*B的連乘次序為a*b*c（因為A的矩陣是a行b列，B的矩陣是b行c列，所以這兩個矩陣每一次行列相乘都進行b次乘積，並且他們共進行a*c次乘法運算）當A*B后得到的新矩陣為A'[a][c]此時要計算A'與C的次序，同理為a*c*d。這個時候我們就得到乘積次序的和為a*b*c+a*c*d

②A*（B*C）——這個時候我們先求B*C，由①中結論我們知道B*C為b*c*d，得B'[b][d]，此時A*B'為a*b*d，得乘積和為b*c*d+a*b*d

由次我們知道同一個矩陣相乘括號次序不同得到的結果不同。為了更好理解下面我給出一道例題：

　　

              　　　　　　　　　　

 

 

 算法描述：在這個算法中，我們的目的是為了求一串數組的最小乘積次數。所以我們調用動態規划的思想來解決這類問題。在動態規划的過程中，我們需要建立兩組二維數組，一個用來記錄每一個子問題的最優解，另一組用來記錄每一組最優解斷開的位置。

在寫算法的時候我們設置一個P的一位數組，假設有n個矩陣，那么P[0]代表第一個矩陣的行，P[1]代表第一個矩陣的列......依次遞推即P[N-1]代表第N個矩陣的行值，P[N]代表第N個矩陣的列值。

之后我們得到遞推公式：————解釋下這個公式：當i=j時也就意味着當前矩陣列只有一個矩陣， 此時肯定不涉及相乘的問題，所以必須是0呀。

當i<j時，我們將當前矩陣的斷點設置為k，也就是第i個矩陣到第k個矩陣為一組，k+1到j為一組。遍歷所有情況求解出最小的那個值（因為m[i][k]與m[k+1][j]的情況我們在求解這個問題前已經得出，所以直接拿來用就好）,最后別忘了把最后一個矩陣的乘積次數加上（這個很好記——矩陣鏈的第一個數的行*最后一個數的列*斷開位置的列）下面我給出這兩個二維數組的具體過程

 

先處理對角線的值，之后向右以此寫15750、2625、750。。。按照對角線的順序來寫，同理s矩陣中存入的是最優解斷開位置，與m順序相同。之后我們知道m[1][6]就是我們要求的最優解。

 

 

代碼：

int MatrixChain(int n,int **m,int **s,int *p)  
{  
    for(int i=1; i<=n; i++)  //只有一個矩陣的情況
    {  
        m[i][i] = 0;  
    }  
    for(int r=2; r<=n; r++) 
    {  
        for(int i=1; i<=n-r+1; i++)//
        {  
            int j = i+r-1;//計算前邊界為r，鏈長為r的鏈的后邊界    
  
            m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1]*p[i]*p[j];//先假設這樣分是最優解，后面會不斷更新
  
            s[i][j] = i;  
  
            for(int k=i+1; k<j; k++)  
            {  
                //將鏈ij划分為( A[i:k] )* (A[k+1:j])     
                int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1]*p[k]*p[j];  
                if(t<m[i][j])  //不斷更新最優解
                {  
                    m[i][j] = t;  
                    s[i][j] = k;  
                }  
            }  
        }  
    }  
    return m[1][L-1];  
}  

 

 

 

不過動態規划的問題還是要多加練習的，如果同學們有想練手的話可以去“計蒜課”中寫一下“沙子的質量”——————我對於這道題目也寫了一些題解http://www.cnblogs.com/Pinging/p/7684638.html大家可以去看一看

 

 

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