算法設計——矩陣連乘問題

白天什么也沒學，晚上才終於拿着筆，對着代碼，寫寫畫畫，終於看明白是怎么計算的了。

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以這6個矩陣連乘作為例子

A1	A2	A3	A4	A5	A6
30*35	35*15	15*5	5*10	10*20	20*25

 

 

 

1 首先，要明白兩個矩陣相乘所需要做的乘法次數：

2 由於連乘的矩陣必須滿足，前一個矩陣的列數=后一個矩陣的行數，所以可以使用一個數組來存儲連乘矩陣的行列數：

p[7]={30,35,15,5,10,20,25}；

3 分析最優解的結構：

A[i:j]表示矩陣i到矩陣j的連乘，那么A[i:j]=A[i:k]+A[k+1:j]+p[i-1]*p[k]*p[j]（這兩個矩陣相乘所需的乘法次數）；

如果A[i:j]的所需要的乘法次數是最少的，那么A[i:k]和A[k+1:j]所需要的乘法次數也應該是最少的，否則A[i:j]就不是最優的，所以滿足最優子結構性質；

4 建立遞歸關系：

m[i][j]表示矩陣i連乘到矩陣j的最少乘次數，那么原問題的最優值是m[1,n]；

當i=j時，為單個矩陣，m[i][i]=0；

當i<j時，利用最優子結構性質來計算；

獲得以下遞歸定義： 

m[i][j]=0;    i=j

m[i][j]=min_i<=k<j{m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]};  i<j

如果需要得出最優解的加括號結果，需要另一個二維數組s[i][j]，用於記錄使m[i][j]獲得最優解的斷點，k值；

5 分析代碼

int m[8][8]={0},s[8][8]={0};

void MaxtrixChain(int *p,int n){
    for(int i=1;i<=n;i++) m[i][i]=0;
    for(int r=2;r<=n;r++)
        for(int i=1;i<=n-r+1;i++){
            int j=i+r-1;
            m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
            s[i][j]=i;
            
            for(int k=i+1;k<j;k++){
                int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
                if(t<m[i][j]){
                    m[i][j]=t;
                    s[i][j]=k;
                }
            }
        }
}

書上寫了“依據其遞歸式自底向上的方式進行計算”，沒拿出筆畫之前，我真的沒看懂這句話到底是怎么自底向上的，於是我要開始寫寫畫畫了；

我們先暫時只看下面這部分代碼：

void MaxtrixChain(int *p,int n){
    for(int i=1;i<=n;i++) m[i][i]=0;
    for(int r=2;r<=n;r++){
        for(int i=1;i<=n-r+1;i++){
            int j=i+r-1;
            m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j];
        }
    }
}

 

具體用數據分析一下

把右圖補充完整，將得到以下結果：這是我理解的自底向上地計算；

接下來看另一部分代碼：

    for(int r=2;r<=n;r++){
        for(int i=1;i<=n-r+1;i++){
            int j=i+r-1;
            
            for(int k=i+1;k<j;k++){
                int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];
                if(t<m[i][j]){
                    m[i][j]=t;
                    s[i][j]=k;
                }
            }
        }
    }

所以我們需要把這兩部分代碼結合起來使用：

那么對於m[1][4]我們是枚舉了所有加括號的可能情況，並存儲了其中最小的一個，獲得了最優值；

那么對於m[2][5]、m[3][6]也能得到最優值；並且沒有做任何重復計算；

當r=5時，m[1][5]、m[2][6]也能得到最優值；

當r=6時，m]1][6]也能得到最優值；如此就得到了原問題的最優解；

 每一次得到更小值的時候，s[i][j]=k，記錄（更新）這個斷點情況；最后可以用來幫助構造最優解的加括號形式；

6 以下給出完整源代碼：

#include<iostream>
using namespace std;

//矩陣連乘：完全加括號問題
//A1(p1*p2)，A2(p2*p3)，兩個矩陣相乘，總乘法次數為p1*p2*p3，其中p2表示結果的每個元素所需要的乘法次數
//m[i][j]表示，第i個矩陣到第j個矩陣的連乘，所需要的乘法次數
//對於多個矩陣連乘，可以得出以下遞推式
//m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]
//問題是如何找到這個k，使乘法次數最少
int m[7][7]={0};    //m[i][j]用於存儲，第i個矩陣連乘到第j個矩陣的乘法次數，那么m[1][n]為最終結果
int s[7][7]={0};    //s[i][j]用於存儲，矩陣i和矩陣j之間所取的斷點，k值，用於構造結果的加括號情況

void MatrixChain(int n,int p[]){
    for(int i=1;i<=n;i++)   m[i][i]=0;      //單個矩陣乘法次數為0
    
    //采用自底向上的方式實現遞推式
    for(int r=2;r<=n;r++){       //表示r個矩陣的連乘
        for(int i=1;i<=n-r+1;i++){  //從第i個矩陣開始，作為連乘的起點，有r個矩陣連乘，所以要<=n-r+1
            int j=i+r-1;        //j-i=r-1，表示j是r個矩陣連乘中的終點
            m[i][j]=m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j]; 
                //相當於m[i][j]=m[i][i]+m[i+1][j]+p[i-1]*p[i]*p[j]，顯然m[i][i]=0
                //即表示Ai……Aj=Ai(Ai+1……Aj)，從最后一個開始加括號
            s[i][j]=i;
            
            for(int k=i+1;k<j;k++){
                int t=m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j];   //在i~j中尋找k
                if(t<m[i][j]){
                    m[i][j]=t;      //記錄t歷史上的最小值，最終結果即為連乘中的最優值
                    s[i][j]=k;      //記錄斷點k值
                }
            }

        }
    }
}

//利用s[i][j]進行構造連乘的加括號情況
void TraceBack(int i,int j){
    if(i==j) return;
    TraceBack(i,s[i][j]);   //以s[i][j]記錄的k為分界點，找左邊，i~k
    TraceBack(s[i][j]+1,j); //找右邊，k+1~j
    cout<<"Matrix A"<<i<<","<<s[i][j];
    cout<<" and A"<<s[i][j]+1<<","<<j<<endl;
}

int main(){
    int arr[7]={30,35,15,5,10,20,25};
    int n=6;
    MatrixChain(n,arr);
    TraceBack(1,n);
    cout<<m[1][n]<<endl;
    system("pause");
    return 0;
}

 

哇本渣終於弄清楚矩陣連乘了！！