算法筆記——【動態規划】矩陣連乘問題——備忘錄法

      問題描述：給定n個矩陣：A1,A2,...,An，其中Ai與Ai+1是可乘的，i=1，2...，n-1。確定計算矩陣連乘積的計算次序，使得依此次序計算矩陣連乘積需要的數乘次數最少。輸入數據為矩陣個數和每個矩陣規模，輸出結果為計算矩陣連乘積的計算次序和最少數乘次數。

      問題解析：由於矩陣乘法滿足結合律，故計算矩陣的連乘積可以有許多不同的計算次序。這種計算次序可以用加括號的方式來確定。若一個矩陣連乘積的計算次序完全確定，也就是說該連乘積已完全加括號，則可以依此次序反復調用2個矩陣相乘的標准算法計算出矩陣連乘積。

       完全加括號 的矩陣連乘積可遞歸地定義為：

     （1）單個矩陣是完全加括號的；

     （2）矩陣連乘積A是完全加括號的，則A可表示為2個完全加括號的矩陣連乘積B和C的乘積並加括號，即A=(BC)

       例如，矩陣連乘積A1A2A3A4有5種不同的完全加括號的方式：(A1(A2(A3A4)))，(A1((A2A3)A4))，((A1A2)(A3A4))，((A1(A2A3))A4)，(((A1A2)A3)A4)。每一種完全加括號的方式對應於一個矩陣連乘積的計算次序，這決定着作乘積所需要的計算量。

      看下面一個例子，計算三個矩陣連乘{A1，A2，A3}；維數分別為10*100 , 100*5 , 5*50 按此順序計算需要的次數((A1*A2)*A3):10X100X5+10X5X50=7500次，按此順序計算需要的次數(A1*(A2*A3)):100*5*50 + 10*100*50 = 75000次（注意計算次數的方法 ！  ）

      所以問題是：如何確定運算順序，可以使計算量達到最小化。      

　  算法思路：

      例：設要計算矩陣連乘乘積A1 A2 A3 A4 A5 A6，其中各矩陣的維數分別是：

      A1：30*35;     A2：35*15;     A3：15*5;     A4：5*10;     A5：10*20;     A6：20*25 

      遞推關系：

      設計算A[i:j]，1≤i≤j≤n，所需要的最少數乘次數m[i,j]，則原問題的最優值為m[1,n]。

      當i=j時，A[i:j]=Ai，因此，m[i][i]=0，i=1,2,…,n
      當i<j時，若A[i:j]的最優次序在Ak和Ak+1之間斷開，i<=k<j,則：m[i][j]=m[i][k]+m[k+1][j]+pi-1pkpj。由於在計算是並不知道斷開點k的位置，所以k還未定。不過k的位置只有j-i個可能。因此，k是這j-i個位置使計算量達到最小的那個位置。

      綜上，有遞推關系如下：

 

　　若將對應m[i][j]的斷開位置k記為s[i][j]，在計算出最優值m[i][j]后，可遞歸地由s[i][j]構造出相應的最優解。s[i][j]中的數表明，計算矩陣鏈A[i:j]的最佳方式應在矩陣Ak和Ak+1之間斷開，即最優的加括號方式應為(A[i:k])(A[k+1:j)。

因此，從s[1][n]記錄的信息可知計算A[1:n]的最優加括號方式為(A[1:s[1][n]]) (A[   s[1][n]+1  :  n] )，進一步遞推，A[1:s[1][n]]的最優加括號方式為(A[1:s[1][s[1][n]]])(A[s[1][s[1][n]]+1:s[1][s[1][n]]])。同理可以確定A[ s[1][n]+1 :n]的最優加括號方式在s[ s[1][n]+1 ][n]處斷開...照此遞推下去，最終可以確定A[1:n]的最優完全加括號方式，及構造出問題的一個最優解：

如下例題：

          

 

 

 

 

    

　　備忘錄遞歸算法

     備忘錄方法用表格保存已解決的子問題答案，在下次需要解決此子問題時，只要簡單查看該子問題的解答，而不必重新計算。備忘錄方法為每一個子問題建立一個記錄項，初始化時，該記錄項存入一個特殊的值，表示該子問題尚未求解。在求解的過程中，對每個帶求的子問題，首先查看其相應的記錄項。若記錄項中存儲的是初始化時存入的特殊值，則表示該問題是第一次遇到，此時計算出該子問題的解，並將其保存在相應的記錄項中，以備以后查看。若記錄項中存儲的已不是初始化時存入的特殊值，則表示該子問題已被計算過，相應的記錄項中存儲的是該子問題的解答。此時從記錄項中取出該子問題的解答即可，而不必重新計算。

 

//A1 30*35 A2 35*15 A3 15*5 A4 5*10 A5 10*20 A6 20*25
//p[0-6]={30,35,15,5,10,20,25} 

#include<iostream>
using namespace std;

#define N 7  //N為7，實際表示有6個矩陣
int p[N]={30,35,15,5,10,20,25};
int m[N][N],s[N][N];

int LookupChain(int i, int j){
    if(m[i][j]>0)
        return m[i][j];
    if(i == j)
        return 0;
    m[i][j] = LookupChain(i,i) + LookupChain(i+1,j)+p[i-1]*p[i]*p[j];
    s[i][j] = i;
    for(int k=i+1; k<j;k++){
        int t = LookupChain(i,k)+LookupChain(k+1,j)+p[i-1]*p[k]*p[j];
        if(t<m[i][j]){
            m[i][j]=t;
            s[i][j]=k;
        }
    }
    return m[i][j];
}

int MemorizedMatrixChain(int n, int m[][N], int s[][N]){
    for(int i=1;i<=n;i++){  //初始化默認都是0
        for(int j=1;j<=n;j++)
            m[i][j] = 0;
    }
    return LookupChain(1,n);
}
/*
*追蹤函數：根據輸入的i,j限定需要獲取的矩陣鏈的始末位置，s存儲斷鏈點
*/
void Traceback(int i,int j, int s[][N]){
    if(i==j)       //回歸條件
    {
        cout<<"A"<<i;
    }
    else       //按照最佳斷點一分為二，接着繼續遞歸
    {
        cout<<"(";
        Traceback(i,s[i][j],s);
        Traceback(s[i][j]+1,j,s);
        cout<<")";
    }
}
int main(){


    MemorizedMatrixChain(N-1,m,s);//N-1因為只有六個矩陣
    Traceback(1,6,s);
    return 0;
}

 

 

 

　參考： https://blog.csdn.net/qq648483997/article/details/93063764 

　　　　https://blog.csdn.net/liufeng_king/article/details/8497607

  　　　　https://www.cnblogs.com/lixing-nlp/p/7688989.html  老師的課件內容