問題描述：
給定n個矩陣序列，(A1,A2,A3,A4,...,An). 計算他們的乘積：A1A2A3...An.
由於矩陣的乘法運算符合結合律，因而可以通過調整計算順序，從而降低計算量。
樣例分析：
比如有三個矩陣分別為：A1: 10*100,A2: 100*5,A3: 5*50
假如現在按照(A1A2)A3的順序計算需要的計算量為：10*100*5+10*5*50=7500次運算。
若按照A1(A2A3)的順序計算，需要的計算量為：100*5*50+10*100*50=75000次運算。
上面兩種不同的運算順序所有的計算量相差十倍。
因而，一種最優的計算順序將能很大程度的減少矩陣連乘的運算量。
問題解析：
此問題的目的是尋找一種最優的括號化方案。下面用動態規划的思想來進行分析：
1、動態規划的第一步：尋找最優子結構。為方便起見，使用Ai..j表示AiAi+1...Aj的乘積結果矩陣。對於k(i<=k<j), 計算Ai..j所需要的計算量為：Ai..k 和 Ak+1..j 以及二者相乘的代價和。
2、設m[i][j]為Ai..j的最優計算順序所要花費的代價。則其求解公式為：
if i == j, m[i][j] = 0; //因為只有一個矩陣時計算代碼為0，即不需要計算。
m[i][j]=min{m[i][k] + m[k+1][j] + Pi-1PkPj} i<=k<j
3、為了能夠輸出求解順序，需要保存區間中的一些分割點。假如Ai..j中的最優分割點為k，則我們使用s[i][j]=k。即在Ai..j中，分別計算Ai..k 和 Ak+1..j 所用的計算開銷最小。
4、采用自底向上的表格法。依次求解矩陣長度為2,3,...,n的最優計算順序。
算法思想：
1、對m[i][i]全部初始化為0.
2、在矩陣鏈A1..n中，依次計算長度len為2,3,...,n的m[i][j]大小。（j-i+1==長度len）.
3、對於長度為len的m[i][j]初始化為+∞。然后根據以下公式計算m[i][j]的最小值。
m[i][j]=min{ m[i][k] + m[k+1][j] + Pi-1PkPj }
由於比長度len小的m[i][k],m[k+1][j]都已經提前計算了出來。所以就可以計算出最小的m[i][j]，同時保存相應的最優點。如：s[i][j] = k; //k為i~j的最優計算分割點。
4、根據以上保存的結果，輸出。
具體代碼如下：（C代碼）
<span style="font-size:18px;">/**
動態規划之矩陣鏈相乘，
輸入：有N個矩陣連乘,用一行有n+1個數數組表示,表示是n個矩陣的行及第n個矩陣的列,它們之間用空格隔開.
輸出：每組測試數據的輸出占一行，它是計算出的矩陣最少連乘積次數，輸出最優全括號結構
樣例輸入：10 100 5 50
上面一組數據分別代表： A1:10*100, A2:100*5, A3:5*50
樣例輸出：7500 ((A1A2)A3)
30 35 15 5 10 20 25 --> 15125 ((A1(A2A3))((A4A5)A6))
**/
#include <stdio.h>
int m[1002][1002],s[1002][1002];
void matrix_chain(int a[], int n)
{
int l, i, j, k, tmp;
for(l=2; l<=n; l++)
{
for(i=1; i<=n-l+1; i++) //長度為l的區間，其最小下標為1～n-l+1
{
j=i+l-1;
m[i][j] = 0x7fffffff;
for(k=i; k<j; k++) //i~k, k+1~j, 所以k<j
{
tmp = m[i][k]+m[k+1][j]+a[i-1]*a[k]*a[j];
if(tmp < m[i][j])
{
m[i][j] = tmp;
s[i][j] = k;
}
}
}
}
}
void print(int i, int j)
{
if(i == j)
printf("A%d",i);
else{
printf("(");
print(i, s[i][j]);
print(s[i][j]+1, j);
printf(")");
}
}
int main()
{
int n, a[1002];
int i,j,l;
while(scanf("%d",&n)==1) //輸入有n個矩陣
{
for(i=0; i<n+1; i++)
scanf("%d",&a[i]);
//memset(m, 0x7fffffff,sizeof(m));
for(i=0; i<n+1; i++)
m[i][i] = 0;
matrix_chain(a, n);
printf("%d\n",m[1][n]);
print(1, n);
printf("\n");
}
return 0;
}
</span>