矩陣連乘問題(內附動態規划算法代碼)

矩陣連乘問題

若矩陣A是一個p*q的矩陣，B是一個q*r的矩陣，則C=AB，是一個p*r的矩陣，需進行pqr次數乘計算。

存在{A1,A2,A3}三個矩陣，維數分別為100*5，5*50，50*10。若直接相乘，A1*A2*A3，則需要進行n=100*5*50+100*50*10=25000+50000=75000次數乘計算。如果我們調整運算順序，A1*(A2*A3)，則需要進行n=5*50*10+100*5*10=2500+5000=7500次數乘計算。

由此可見，當進行矩陣連乘運算時，加括號的方式，即計算次序對計算量有很大的影響。

 

 

代碼展示：

#include<iostream>

using namespace std;
/*
自底向上的推出矩陣連乘的最優解
先從兩個矩陣相乘開始，而后三個矩陣相乘，四個......直到推出目標長度的最優解 ，即假設一個矩陣鏈，初始長度為2，算出所有相鄰矩陣相乘的計算次數，而后使其長度為3...4...直到目標長度
狀態轉移方程：
 m[i][j]=min {m[i][k]+m[k+1][j]+p[i-1]*p[k]*p[j]}   i<=k<j  i<j
 m[i][j]=0   i==j;
*/
#define LEN 5  //矩陣個數 
//矩陣連乘函數，找到最優解 
void MatrixChain(int *p, int m[][LEN + 1], int s[][LEN + 1]) {
    for (int i = 0; i < LEN + 1; i++)    m[i][i] = 0;      //初始化，對角線元素置零，即當矩陣鏈長度為1時（只有一個矩陣）不用乘，為零 
    for (int r = 2; r <= LEN; r++) {  //r表示矩陣鏈的長度，從2開始,兩個矩陣相乘，而后3...4...5... 
        for (int i = 1; i <= LEN - r + 1; i++) {    //i是矩陣鏈的首個矩陣，小於矩陣個數減矩陣鏈長度加一 
            int j = i + r - 1;    //j是矩陣鏈的最后一個元素 
            m[i][j] = m[i][i] + m[i + 1][j] + p[i - 1] * p[i] * p[j];   //m[i][j]是子結構，從最左邊開始推 
            s[i][j] = i;  //標記斷開的位置 
            for (int k = i + 1; k < j; k++) {    //k是i和j直接的斷開點，是在i和j之間的子結構 ，通過k的循環找到最優的解 
                int t = m[i][k] + m[k + 1][j] + p[i - 1] * p[k] * p[j];   //狀態轉移方程 
                if (t < m[i][j]) {
                    m[i][j] = t;    //更新最優解 
                    s[i][j] = k;    //更新斷開點 
                }
            }
        }
    }
}

//回溯函數，根據s[i][j]數組標記的位置，回溯找到斷開的位置 
void Traceback(int i, int j, int s[][LEN + 1]) {
    if (i == j) {    //當i與j相等 說明回溯到該矩陣的位置了
        cout << "A" << i;
    }
    else {
        cout << "(";
        Traceback(i, s[i][j], s);    //從尾往頭回溯
        Traceback(s[i][j] + 1, j, s);    //從斷點往后回溯
        cout << ")";
    }
}
//輸出函數 
void output(int t[][LEN + 1]) {
    for (int i = 1; i <= LEN; i++) {
        for (int j = 1; j <= LEN; j++) {
            cout << " " << t[i][j] << " ";
        }
        cout << endl;
    }
}
int main(void) {
    int p[LEN + 1] = { 6,8,9,3,4,10 }; //矩陣的維度分別是2*3,3*4,4*5,5*6,6*7，LEN+1個數表示LEN個矩陣 
    int m[LEN + 1][LEN + 1] = { 0 };    //記錄最優子結構的二維數組 
    int s[LEN + 1][LEN + 1] = { 0 };    //記錄最優解對應的括號的位置     

    MatrixChain(p, m, s);

    cout << endl;
    output(m);
    cout << endl;
    output(s);
    cout << endl;
    cout << "outcome:" <<endl;
    Traceback(1, LEN, s);
    cout << endl;

    return 0;
}

 運行結果：

 

與備忘錄方法的區別：

我們使用的動態規划方法中其實融入了備忘錄的一些東西，我們的m和s數組都是用來記錄的，所以備忘錄方法與我們使用的方法類似，不同在於，我們是自底向上的，而備忘錄方法是自頂向下的進行。