01背包問題的動態規划算法

01背包問題我最初學會的解法是回溯法，第一反應並不是用動態規划算法去解答。原因是學習動態規划算法的時候，矩陣連乘、最長公共子串等問題很容易將問題離散化成規模不同的子問題，比較好理解，而對於01背包問題則不容易想到將背包容量離散化抽象出子問題，從情感上先入為主也誤以為動態規划算法不是解決01背包問題的好方法，實際上並不是這樣的。另外，動態規划算法不對子問題進行重復計算，但是要自底向上將所有子問題都計算一遍，直到計算出最終問題的結果也就是我們要的答案，有點像爬山的感覺。

問題描述：給定n種物品和一背包，物品i的重量是wi，其價值為vi，背包的容量為C，求能裝入背包的物品的最大價值。
用m(i,j)表示為從i到n的物品裝入容量為j的背包能產生的最大價值，則能裝入背包的物品最大價值為m(1,C)。
遞歸式為：

 

上面講到，該問題是對背包的容量進行離散化，因此時間復雜度是O(nC)。

代碼如下（用的變量名可能和上面有小出入，但是是自描述的）：

#include<iostream>
using namespace std;

struct CARGO{
    int weight;
    int value;
};

const int totalWeight=10;
const int totalNumber=5;
CARGO goods[totalNumber]={{2,6},{2,3},{6,5},{5,4},{4,6}};

//1.使用時下標都從1開始；2.遇到復雜結構的初始化用memset方法。
int result[totalNumber+1][totalWeight+1]={0};

int myMax(int i,int j)
{
    return i>=j?i:j;
}

void dp()
{
    int i,j;

    //動態規划表達式的初始化
    i=totalNumber;
    for(j=1;j<=totalWeight;j++)
    {
        if(goods[i-1].weight>j)//為保證邏輯完整性，這個if沒刪掉
        {
            result[i][j]=0;
        }
        else
        {
            result[i][j]=goods[i-1].value;
        }
    }

    for(i=totalNumber-1;i>0;i--)
    {
        for(j=1;j<=totalWeight;j++)
        {
            if(goods[i-1].weight>j)
            {
                result[i][j]=result[i+1][j];
            }
            else
            {
                result[i][j]=myMax(result[i+1][j],result[i+1][j-goods[i-1].weight]+goods[i-1].value);
            }
        }
    }
}

int main()
{
    dp();
    cout<<result[1][totalWeight]<<endl;

    //是否理解：完成用result[totalNumber][totalWeight]表示背包最大value的代碼（從前往后解決子問題的方法）。

    return 0;
}