【動態規划】01背包問題

　　今天小編閑的不行，就打開洛谷，隨便一打卡就是大吉，還宜刷題。

　　正巧上午比賽時有一道背包問題，於是小編默默打開試煉場，瞅准了背包問題（別問我為什么），正所謂自知者明，小編也知道自己很水（建議看背包九講），於是挑了三道題：

　　在寫之前總得知道什么是背包問題吧，背包問題一般長這樣：

　題目：有N件物品和一個容量為V的背包。第i件物品的費用是w[i]，價值是value[i]。求解將哪些物品裝入背包可使價值總和最大。

　　那么如何解這種題目呢，先定義一個數組f[i][j]為當一共有i件物品，背包容量為j時的最大價值。然后就要找狀態轉移方程了，小編以前總認為狀態轉移方程難寫，但是只要一項一項列出來就好了。對於每一個物品，無非就兩種可能:要么選，要么不選。那么先看選，凡是總有回報和代價把，選了之后代價是什么呢？想一想，是不是選了之后背包剩余容量就減少了；那么回報呢？當然是價值增加了唄。但是不選就不一樣了，應為啥也沒干，最大價值和之前一樣，不增不減。這不就出來了嘛，兩種情況如下：

• 　　選：f[i][j]=f[i-1][j-w[i]]+value[i];
•        不選：f[i][j]=f[i-1][j];

　　因為題目求的是最大價值，所以兩者中取大的就可以了，得到以下狀態轉移方程：

　　f[i][j]=max(f[i-1][j-w[i]]+value[i],f[i-1][j]);

　　有沒有發現什么，我們用了二維數組，雖然時間上已經難以優化，但是空間上還是可以優化成一維數組的，只要同時去掉i的那一個維度就可以了，因為二維數組有太多不需要一直記錄的，直接不斷更新一維數組（滾動數組的方式）就可以了，更改如下：

　　f[j]=max(f[j-w[i]]+value[i],f[j]);

　　具體怎么實現，看幾道吧。

　　先看第一道：

 

　　這道題處於秒殺的行列，直接用剛才的方法，把錢數看成是容量，把重要程度*價格看成是價值就好了，直接寫就行，代碼奉上：

#include<iostream>
using namespace std;
long long cost[30000],w[30000],f[30000],ans;
int main()
{
    long long n,m;
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    cin>>cost[i]>>w[i];
    for(int i=1;i<=m;i++)
    for(int j=n;j>=cost[i];j--)
    {
        if(j>=w[i])
        f[j]=max(f[j],f[j-cost[i]]+w[i]*cost[i]);
    }
    cout<<f[n];
    return 0;
}

先來看一下采葯，比上面的還簡單：

　　把時間看成容量，就可以了，代碼獻上：

#include<iostream>
using namespace std;
int t,m,w[1000],cost[1000],f[1000];
int main()
{
    cin>>t>>m;
    for(int i=1;i<=m;i++)
    cin>>w[i]>>cost[i];
    for(int i=1;i<=m;i++)
    for(int j=t;j>=w[i];j--)
    {
        f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+cost[i]);
    }
    cout<<f[t];
    
    return 0;
}

最后來看小A點菜：

　　這道題乍一看沒思路，還按照剛才的思路：要么吃，要么不吃，吃有什么代價，什么回報呢？錢變少了，方案數變多了唄；不吃呢？還是原來的方案數。這樣兩種情況就出來了：

• 　　f[j-cost[i]]；
•        f[j]；

 　　【注意】情況有變，這一次就不那么簡單了，因為選和不選是兩種不同的方案數，題目求的是一共的方案數，所以不是max，不是min，而是+。

　　歸根結底長這樣：f[j]=f[j]+f[j-cost[i]];

 　　這樣代碼就出來了，代碼呈上：

#include<iostream>
using namespace std;
int n,m,cost[100000],f[10000];
int main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    cin>>cost[i];
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=m;j>=cost[i];j--)
    f[j]=f[j]+f[j-cost[i]];
    cout<<f[m];
    return 0;
}