本文作者frankchenfu，blogs網址http://www.cnblogs.com/frankchenfu/，轉載請保留此文字。
動態規划是一個OI選手都熟悉的算法，同時也是剛接觸時比較難理解的。
今天，我為大家分享一類比較簡單的動態規划問題——背包問題。
背包問題(Knapsack problem)是在1978年提出的，它都可以類似的描述為：給定一組物品，每種物品都有自己的重量和價格，在限定的總重量內，我們如何選擇，才能使得物品的總價格最高。
背包問題主要有三種分支：
1、01背包；
2、完全背包；
3、多重背包。
其中01背包比較容易，（甚至可以用貪心來做，但這里不予考慮）。
它是這樣的：給定一組物品，每種物品都有自己的重量和價格（“性價比”一般不相同），但是都只可以選一個（一個物品選一次）。在限定的總重量內，我們如何選擇，才能使得物品的總價格最高。
因為只能選一次，所以我們可以先枚舉第i個物品是否能加入背包，然后如何判斷能不能加入呢？在循環里再嵌套一層循環，枚舉當前背包已經使用的空間，如果這個空間比當前物品的重量還小肯定不對，就不合算了。每次枚舉都要進行一次決策，取最優值。需要注意的是，這個空間j的枚舉必須從后往前枚舉，不然就可能會取多個相同的物品，顯然這不行，違反了原意（想一想，為什么？）。
好了，應該大家到這里都大概聽懂了吧？如果沒聽懂，也沒關系，可以反復地思考，或者參考其他的文章。如果你的代碼能力比較強，也可以嘗試閱讀代碼，說不定有所幫助。為了降低代碼的空間復雜度，我們對決策數組f[ ]進行了壓維，使它降成了一維。Cpp代碼如下(復制代碼請點圖標)：
1 /*
2 01背包 3 適用於輸入格式如下的問題，出現問題請自行調整： 4 第一行兩個整數M, N分別表示背包空間與物品總數； 5 第2到N+1行每行兩個整數，分別表示這類物品每個的價值和所需空間。 6 */
7 #include<cstdio>
8 const int MAXM=10001,MAXN=51; 9 int m,n; 10 int w[MAXN],c[MAXN]; 11 int f[MAXM]; 12 int max(int x,int y) 13 { 14 return x>y?x:y; 15 } 16 int main() 17 { 18 scanf("%d%d",&m,&n); 19 for(int i=1;i<=n;i++) 20 scanf("%d%d",&w[i],&c[i]); 21 for(int i=1;i<=n;i++) 22 for(int j=m;j>=w[i];j--) 23 f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]); 24 printf("%d\n",f[m]); 25 return 0; 26 }
那么，我們接下來講的就是完全背包。完全背包和01背包類似，只不過每種物品有無限多件，你愛取幾件取幾件！
它們的代碼也是極其的相似！僅僅是for循環的順序從逆序變成了順序。（剛才說的取多件，其實是變成了完全背包）。Cpp代碼：
1 /*
2 完全背包，輸入規則： 3 第一行兩個整數M, N分別表示背包空間與物品總數； 4 第2到N+1行每行兩個整數，分別表示這類物品每個的價值和所需空間。 5 */
6 #include<cstdio>
7 const int MAXM=10001,MAXN=51; 8 int m,n; 9 int w[MAXN],c[MAXN]; 10 int f[MAXM]; 11 int max(int x,int y) 12 { 13 return x>y?x:y; 14 } 15 int main() 16 { 17 scanf("%d%d",&m,&n); 18 for(int i=1;i<=n;i++) 19 scanf("%d%d",&w[i],&c[i]); 20 for(int i=1;i<=n;i++) 21 for(int j=w[i];j<=m;j++) 22 f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]); 23 printf("%d\n",f[m]); 24 return 0; 25 }
最后一個最最最難的多重背包，它是每個物品都有有限多個！
它需要用到二進制思想進行拆分（其實有點像拆分成多個01背包，然后再把答案合並）！Cpp代碼如下：
1 /*
2 多重背包，輸入格式： 3 第一行，一個整數n，物品數量； 4 第二行，n個整數，第i個整數表示第i個物品的價格bi； 5 第三行，n個整數，第i個整數表示第i個物品的數量ci； 6 第四行，一個整數m，背包空間。 7 */
8 #include<cstdio>
9 const int MAXM=10001,MAXN=6001; 10 int v[MAXM],w[MAXM]; 11 int f[MAXN]; 12 int n,m,p; 13 int max(int x,int y) 14 { 15 return x>y?x:y; 16 } 17 int main() 18 { 19 scanf("%d%d",&n,&m); 20 for(int i=1;i<=n;i++) 21 { 22 int x,y,s,t=1; 23 scanf("%d%d%d",&x,&y,&s); 24 for(;s>=t;t<<=1) 25 { 26 v[++p]=x*t; 27 w[p]=y*t; 28 s-=t; 29 } 30 v[++p]=x*s; 31 w[p]=y*s; 32 } 33 for(int i=1;i<=p;i++) 34 for(int j=m;j>=v[i];j--) 35 f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+w[i]); 36 printf("%d\n",f[m]); 37 return 0; 38 }
這篇文章到此就結束了。希望對大家有所幫助，謝謝！