幾何學中的歐拉公式：V-E+F = 2，V、E、F表示簡單幾何體的頂點數、邊數、面數。
證明：
它的證明有多種，這里呈現一種遞歸證法。
對於任意簡單幾何體(幾何體的邊界不是曲線)，我們考察這個幾何體的每個面，設這個邊成一個n邊形，我們從某個固定頂點開始連接其其他各個頂點，即將這個n邊形從某個頂點進行了三角剖分，我們假想每個三角形是一個面(因為實際上多個三角形共面)，那么能夠看到，這個過程中E和F的增量是相同的，因此如果原來的幾何體滿足V-E+F = 2，則現在這個幾何體(視每個三角形為一個面)仍然滿足歐拉公式。
我們隨機去掉一個面，則剖分后的幾何體應滿足V-E+F = 1.
現在我們考察這個去掉一個面之后被三角形剖分的幾何體，對於某個三角形，考察它的三個邊(每條邊都是被兩個三角形共享)，會有如下的三種情況：
(1)一個邊所在的另一個三角形的那個面是空的。
(2)兩個邊所在的另一個三角形的那個面是空的。
(3)三個邊所在的另一個三角形的那個面是空的。
那么下面我們開始一個“掏空過程”，為了分析的方便，我們不在一片沒有被“掏空”的區域的內部去“掏空”某個三角形，直到最終剩余一個三角形，即我們避免了第三種情況。
面臨情況(1)，我們掏空這個三角形，發現邊數、面數各減1，V-E+F的值將不發生變化。
面臨情況(2)，我們掏空這個三角形，我們發現會出現兩種情況，分為頂點數減1和不變的情況(想象一下)，我們非常喜歡前面這種情況，因為這使得邊數減2、頂點減1、面數減1，這會使得V-E+F不變，這十分有利於我們繼續進行遞歸的等價轉化。
那么如何應對這種情況呢？還記得我們一開始隨機掏空的那個三角形么，容易看到它必然由三個三角形圍起來，即分享這個被掏空的三角形的三個邊的三角形，我們標號為1、2、3，而這三個三角形中間勢必會夾着三個三角形，我們記為4、5、6，我們采取的策略是先掏空1、2、3，然后掏空4、5、6，這樣將會保證V-E+F不變，同時我們將1、2、3、4、5、6視為第一層“堡壘”，對於第二層，想一想，是否也是相同的狀況(掏空4、5、6又會得到三個情況(1)中的三角形)？這就保證了我們遞歸的正確性。(這里不需要考慮三角形個數余6的結果，因為這種自上而下的“掏空過程”將會杜絕情況(2)的第二種情況)
那么讓我們來看看遞歸的最終狀態，對於一個三角形，V = 3 、 F =1 、 E = 3 ，顯然有V-E+F = 1，然后回溯到先前的所有狀態，可知對於任意的簡單幾何體，有歐拉公式成立：
V-E+F = 2.
證畢。
補充：筆者今天復習離散剛好看到了該歐拉公式在平面圖中的推廣形式，在這里做出補充。
通常有資料認為將幾何體直接映射到平面上即可完成等價轉化，但個人認為這並不嚴謹，主要針對弧線。
定理：設G為任意的連通的平面圖，則v-e+f=2，v是G的頂點數，e是G的邊數，f是G的面數。
證明：其實有點類似幾何學中的歐拉公式的證明方法，這里采用歸納證明的方法。
對m進行歸納，當m = 0，顯然成立。
假設邊數e' = e-1時成立，即有v'-e'+f'=2.考察參數為v、e、f的G圖，如果存在懸掛點v1，去掉v1，則有e' = e - 1,f=f'，v' = v - 1，帶入之前的假設，整理得：
v-e+f=2.
而如果G中沒有懸掛點，我們去掉回路中的某個邊，采取類似的思路，同樣可以整理出歐拉公式。
證畢。