Given a positive integer n, find the least number of perfect square numbers (for example, 1, 4, 9, 16, ...) which sum to n.
Example 1:
Input: n =12Output: 3 Explanation:12 = 4 + 4 + 4.
Example 2:
Input: n =13Output: 2 Explanation:13 = 4 + 9.
Credits:
Special thanks to @jianchao.li.fighter for adding this problem and creating all test cases.
又是超哥一個人辛苦的更新題目，一個人托起 LeetCode 免費題的一片天空啊，贊一個~ 這道題說是給我們一個正整數，求它最少能由幾個完全平方數組成。這道題是考察四平方和定理，to be honest, 這是我第一次聽說這個定理，天啦擼，我的數學是語文老師教的么?! 閑話不多扯，回來做題。先來看第一種很高效的方法，根據四平方和定理，任意一個正整數均可表示為4個整數的平方和，其實是可以表示為4個以內的平方數之和，那么就是說返回結果只有 1,2,3 或4其中的一個，首先我們將數字化簡一下，由於一個數如果含有因子4，那么我們可以把4都去掉，並不影響結果，比如2和8,3和12等等，返回的結果都相同，讀者可自行舉更多的栗子。還有一個可以化簡的地方就是，如果一個數除以8余7的話，那么肯定是由4個完全平方數組成，這里就不證明了，因為我也不會證明，讀者可自行舉例驗證。那么做完兩步后，一個很大的數有可能就會變得很小了，大大減少了運算時間，下面我們就來嘗試的將其拆為兩個平方數之和，如果拆成功了那么就會返回1或2，因為其中一個平方數可能為0. (注：由於輸入的n是正整數，所以不存在兩個平方數均為0的情況)。注意下面的 !!a + !!b 這個表達式，可能很多人不太理解這個的意思，其實很簡單，感嘆號!表示邏輯取反，那么一個正整數邏輯取反為0，再取反為1，所以用兩個感嘆號!!的作用就是看a和b是否為正整數，都為正整數的話返回2，只有一個是正整數的話返回1，參見代碼如下：
解法一：
class Solution { public: int numSquares(int n) { while (n % 4 == 0) n /= 4; if (n % 8 == 7) return 4; for (int a = 0; a * a <= n; ++a) { int b = sqrt(n - a * a); if (a * a + b * b == n) { return !!a + !!b; } } return 3; } };
這道題遠不止這一種解法，我們還可以用動態規划 Dynamic Programming 來做，我們建立一個長度為 n+1 的一維dp數組，將第一個值初始化為0，其余值都初始化為 INT_MAX, i從0循環到n，j從1循環到 i+j*j <= n 的位置，然后每次更新 dp[i+j*j] 的值，動態更新 dp 數組，其中 dp[i] 表示正整數i能少能由多個完全平方數組成，那么我們求n，就是返回 dp[n] 即可，也就是 dp 數組的最后一個數字。需要注意的是這里的寫法，i必須從0開始，j必須從1開始，因為我們的初衷是想用 dp[i] 來更新 dp[i + j * j]，如果 i=0, j=1 了，那么 dp[i] 和 dp[i + j * j] 就相等了，怎么能用本身 dp 值加1來更新自身呢，參見代碼如下：
解法二：
class Solution { public: int numSquares(int n) { vector<int> dp(n + 1, INT_MAX); dp[0] = 0; for (int i = 0; i <= n; ++i) { for (int j = 1; i + j * j <= n; ++j) { dp[i + j * j] = min(dp[i + j * j], dp[i] + 1); } } return dp.back(); } };
下面再來看一種 DP 解法，這種解法跟上面有些不同，上面那種解法是初始化了整個長度為 n+1 的 dp 數字，但是初始化的順序不定的，而這個種方法只初始化了第一個值為0，那么在循環里計算，每次增加一個 dp 數組的長度，里面那個 for 循環一次循環結束就算好下一個數由幾個完全平方數組成，直到增加到第 n+1 個，返回即可，想更直觀的看這兩種DP方法的區別，建議每次循環后都打印出 dp 數字的值來觀察其更新的順序，參見代碼如下：
解法三：
class Solution { public: int numSquares(int n) { vector<int> dp(1, 0); while (dp.size() <= n) { int m = dp.size(), val = INT_MAX; for (int i = 1; i * i <= m; ++i) { val = min(val, dp[m - i * i] + 1); } dp.push_back(val); } return dp.back(); } };
最后我們來介紹一種遞歸 Recursion 的解法，這種方法的好處是寫法簡潔，但是運算效率不敢恭維。我們的目的是遍歷所有比n小的完全平方數，然后對n與完全平方數的差值遞歸調用函數，目的是不斷更新最終結果，知道找到最小的那個，參見代碼如下：
解法四：
class Solution { public: int numSquares(int n) { int res = n, num = 2; while (num * num <= n) { int a = n / (num * num), b = n % (num * num); res = min(res, a + numSquares(b)); ++num; } return res; } };
討論：解法二三四的運算效率真的不高，強推解法一，高效又易懂，如果想強行優化后三個算法，可以將解法一的前兩個 if 判斷加到后三個的算法的開頭，能很大的提高運算效率。
類似題目：
參考資料：
https://leetcode.com/problems/perfect-squares/
http://bookshadow.com/weblog/2015/09/09/leetcode-perfect-squares/
https://leetcode.com/problems/perfect-squares/discuss/71505/Simple-Java-DP-Solution