LeetCode 279. Perfect Squares

Given a positive integer n, find the least number of perfect square numbers (for example, 1, 4, 9, 16, ...) which sum to n.

For example, given n = 12, return 3 because 12 = 4 + 4 + 4; given n = 13, return 2 because 13 = 4 + 9.

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【題目分析】

一個數可以由一些完全平方數相加得到，例如1,4,9,16,...

給定一個數n，求出使得相加結果為n所需最少的完全平方數的個數。

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【思路】

1. 遞歸

　　對於一個數，我們怎么求它的由哪些完全平方數相加得到的呢？

　　首先找到距離這個數最近的完全平方數m = x*x，我們從1~x中選擇一個數，求出n中包含z個x*x，我們在遞歸求出n-z*x*x所包含的完全平方數。遍歷1~x，返回其中最小的結果。

2. 動態規划

　　動態規划用 dp[i] 數組存儲第 i 個數的完美平方數。遞推式為：dp[i] = Math.min(dp[j] + dp[i-j], dp[i])，認為 i 的完全平方數是從和為 i 的兩個完全平方數 dp[j] 和 dp[i-j]之和，然后從中取最小。

 3. 改進后的動態規划

　　

　　如圖所示，紅色部分表示平方數，所有的數都可以看做一個普通數加上一個完美平方數，那么遞推式就變為了：dp[i + j * j] = Math.min(dp[i] + 1, dp[i + j * j])。

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【java遞歸實現】

public class Solution {
    public int numSquares(int n) {
        int count = n;
        int nearest = (int)Math.sqrt(n);
        if(n == 0) return 0;
        if(nearest*nearest == n) return 1;
        for(int i = nearest; i >= 1; i--) {
            int cur = 0, num  = n, t = i*i;
            while(num - t >= 0) {
                num -= t;
                cur++;
            }
            if(cur < count){
                count = Math.min(numSquares(num)+cur, count);
            }
        }
        
        return count;
    }
}

時間606ms

 

【java實現動態規划】

public class Solution {
    /*
    動態規划的思想來解決，遞推公式dp[i] = Math.min(dp[j] + dp[i-j], dp[i])
    */
    public int numSquares(int n) {
        int[] array = new int[n+1];
        Arrays.fill(array, Integer.MAX_VALUE);
        array[1] = 1;
        
        for(int i = 2; i <=n; i++) {
            int sqr = (int)Math.sqrt(i);
            if(sqr*sqr == i) array[i] = 1;
            else{
                for(int j = 1; j <= i/2; j++) {
                    array[i] = Math.min(array[j]+array[i-j], array[i]);
                }
            }
        }
        return array[n];
    }
}

時間：1112ms

 【java實現改進后的動態規划】

public class Solution {
    /*
    改進后動態規划，遞推公式dp[i+j*j] = Math.min(dp[i]+1, dp[i+j*j])
    */
    public int numSquares(int n) {
        int[] array = new int[n+1];
        Arrays.fill(array, Integer.MAX_VALUE);
        
        for(int i = 1; i*i <= n; i++) {
            array[i*i] = 1;
        }
        for(int i = 1; i <= n; i++) {
            for(int j = 1; i+j*j <= n; j++) {
                array[i+j*j] = Math.min(array[i]+1, array[i+j*j]);
            }
        }
        return array[n];
    }
}

時間：60ms